Некоторые приложения определенного интеграла

Определенный интеграл имеет разнообразнейшие применения практически во всех областях знания. Мы уже отмечали приложения, связанные с вычислением площадей произвольных фигур с криволинейными границами. Кроме того, с помощью определенного интеграла можно вычислять длины различных кривых, объемы тел с известными площадями параллельных сечений, объемы так называемых тел вращения и площади их поверхности. Многообразны применения и в физике. К ним можно отнести вычисление длины пути по заданному закону изменения скорости, вычисление работы переменной силы на прямолинейном участке движения, вычисление статических моментов и координат центра тяжести нагруженной кривой или плоской фигуры с постоянной плотностью, определение массы неоднородного тонкого стержня по известной его меняющейся плотности, вычисление давления жидкости на вертикальную пластинку, полного заряда стержня по его (заряда) переменной плотности и так далее. К соответствующим экономическим задачам относятся задачи нахождения функций издержек, прибыли и потребления по известным соответствующим предельным функциям, нахождение объема выпуска продукции по изменяющейся производительности труда и так далее .

Остановимся подробнее на определении объема тел вращения. Пусть имеется график некоторой функции на отрезке [a,b], лежащий над осью . Рассмотрим снова криволинейную трапецию, основанием которой является о трезок [a,b], боковыми сторонами являются отрезки вертикальных прямых, проходящих через точки (числа) a и b на оси , а верхним основанием служит график этой функции. Площадь такой трапеции, как известно из изложенного выше, выражается интегралом , но сейчас нас площадь не интересует. Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то получится объемная фигура, которая называется телом вращения (см. рисунок). Тогда объем тела вращения можно вычислить с помощью определенного интеграла по следующей формуле:

(1) .

К телам вращения (из проходимых ранее в школе) относятся шары, конусы и цилиндры. Поэтому известные формулы для их объема могут быть получены из приведенной формулы (1).

Пример 1. Вывести известную из школьной программы формулу для объема прямого кругового конуса высоты и радиуса основания .

Р ешение. Для того, чтобы воспользоваться формулой (1), представим упомянутый конус высоты и радиуса основания как тело, полученное вращением вокруг оси прямоугольного треугольника , изображенного на рисунке. В этом треугольнике длина катета равна высоте конуса (поэтому точке на оси соответствует число ), а длина катета равна радиусу основания конуса. Теперь понятно, что в формуле (1) в качестве пределов интегрирования нужно взять и . Осталось понять, какое выражение подставлять в (1) вместо . В формуле (1) есть выражение для функции, часть графика которой, расположенная над отрезком [a,b], образует верхнее основание вращаемой криволинейной трапеции. Поэтому в нашем примере есть выражение для функции, график которой над интервалом [0,h] на оси есть отрезок прямой . Как известно, все наклонные прямые имеют уравнение вида . Найдем числа и для прямой . Поскольку прямая проходит через начало координат , то , а потому уравнение прямой имеет вид . Число есть угловой коэффициент прямой и равен тангенсу угла наклона прямой к оси . Этот тангенс найдем из прямоугольного треугольника как отношение длины катета, противолежащего этому углу, к длине прилежащего катета. Поэтому . Итак, уравнение прямой : , а потому в нашем примере в качестве в формуле (1) должно быть взято . Таким образом, искомый объем конуса выражается определенным интегралом . Вычислим его, учитывая что высота и радиус основания конуса являются постоянными числами (своими для каждого конкретного конуса): Что и требовалось получить.

П ример 2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси х фигуры, ограниченной графиками функций и (см. рисунок).

Решение. В этом примере вращается не криволинейная трапеция, а более сложная фигура, поэтому напрямую формула (1) неприменима. Однако понятно, что исследуемое тело вращения может быть получено удалением из тела, образованного вращением криволинейной трапеции с верхним основанием – графиком , тела, образованного вращением криволинейной трапеции с верхним основанием – графиком . Поэтому объем искомого тела , где и есть объемы описанных выше тел вращения. Второе тело вращения (полученное вращением прямоугольного треугольника) есть, очевидно, прямой круговой конус с высотой и радиусом основания (см. рисунок). Поэтому его объем можно искать не по интегральной формуле (1), а по формуле, полученной в предыдущем примере: . Объем первой фигуры вращения вычисляем с помощью интеграла по формуле (1) : . Таким образом, искомый объем кубических единиц.

Р ассмотрим применение определенного интеграла к вычислению длины дуги кривой. Пусть дуга некоторой кривой является частью графика непрерывной функции при изменении на отрезке (см. рисунок). Числа и являются абсциссами (т.е. х-координатами) начальной и конечной точки дуги . В этом случае длина дуги вычисляется по формуле:

(2) .

Приведем пример использования формулы (2).

Пример 3. Вычислить длину части графика функции (так называемая полукубическая парабола), если .

Решение. Применим формулу (2) с соответствующими этому примеру параметрами: , , . Для удобства преобразуем выражение для функции: . Тогда . По формуле (2) длина кривой {вносим под знак дифференциала, добавляя перед интегралом поправочный множитель } . Итак, .

Р ассмотрим теперь применение определенного интеграла к вычислению работы переменной силы. Из школьного курса физики известно, что если материальная точка переместилась прямолинейно из точки в точку на расстояние , а сила , действующая на нее, направлена по прямой в сторону движения точки и имеет постоянную величину , то работа этой силы на указанном участке движения . Теперь допустим, что эта сила не постоянна по величине (направлена как и прежде), т.е. в разных точках траектории она имеет разные значения. Как вычислить работу такой переменной силы? Проведем через точки и числовую ось , пусть эти точки соответствуют числам и на этой оси (см. рисунок). В каждой точке траектории от к на точку действует сила переменной величины , зависящей от положения точки, т.е. от координаты этой точки. Тогда работа этой силы на указанном пути от к вычисляется с помощью интеграла:

(3) .

Пример 4. В точке О начало координат числовой оси х закреплен положительный заряд величиной . Свободный положительный заряд величины под действием кулоновской силы отталкивания от закрепленного заряда переместился вдоль оси х от точки с координатой ( ) в точку с координатой (см. рисунок). Найти работу силы Кулона на этом перемещении.

Р ешение. По закону Кулона сила, действующая на подвижный заряд со стороны неподвижного заряда вычисляется по формуле , где − расстояние между зарядами величины и , , а Ф/м − так называемая электрическая постоянная. Поскольку текущая координата подвижного заряда и определяет расстояние между зарядами, то переменная сила Кулона, действующая на заряд , будет иметь вид . Поэтому по формуле (3) работа этой силы равна :

.

Итак, искомая работа .