Несобственные интегралы

При изучении определенного интеграла мы рассматривали только непрерывные на отрезке [a,b] функции, причем отрезок [a,b] был конечной длины (т.е. a≠−∞, b≠+∞). Непрерывные функции мы рассматривали по той причине, что, как писалось выше, для таких функций (хотя и не только для таких, но для таких − точно) существуют первообразные, а потому и неопределенный и определенный интеграл. Попробуем отойти от этих ограничений для подынтегральной функции в определенном интеграле.

П усть подынтегральная функция имеет на отрезке [a,b] конечное число точек разрыва 1 рода (скачки). На рисунке в качестве примера изображен график функции , имеющей одну точку разрыва 1 рода . Для определения понятия определенного интеграла от такой функции по отрезку используем последнее свойство определенных интегралов от непрерывных функций: если отрезок интегрирования разбит на 2 части, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по составляющим этот отрезок частям. Определим теперь интеграл от разрывной (в точке ) функции по отрезку следующим образом:

(1) .

На каждом из отрезков и подынтегральная функция непрерывна (если доопределить ее на концах отрезка соответствующими предельными значениями), а потому определенные интегралы в правой части формулы (1) по этим отрезкам существуют. В формуле (1) правая часть служит определением левой части. В случае нескольких точек разрыва 1 рода интеграл определяется аналогично как сумма интегралов по отрезкам непрерывности функции.

Пример 1. Вычислить от функции , заданной двумя формулами (на разных участках изменения аргумента ) : .

Р ешение. График этой функции (на рисунке) «склеен» из кусков графиков функций и над соответствующими интервалами оси . На интервале интегрирования имеется одна точка разрыва 1 рода . Поэтому по определению (1):

= { на каждом из интервалов интегрирования и имеется свое выражение для функции, которое и подставляем в соответствующий интеграл } = Таким образом, .

Если же подынтегральная функция имеет на отрезке [a,b] точки разрыва 2-го рода (бесконечные скачки), то в обычном смысле определенный интеграл по этому отрезку уже не существует. Однако для некоторых из них все же можно ввести разумное понятие определенного интеграла, который будет называться несобственным интегралом 2 рода.

Если же подынтегральная функция непрерывна, но неограничен сам отрезок интегрирования (т.е. . a=−∞ и/или b=+∞), то интеграл в обычном смысле тоже не определен. Но опять же можно ввести для некоторых функций разумное понятие определенного интеграла и по бесконечному промежутку, который будет называться несобственным интегралом 1 рода. Остановимся на этом интеграле подробнее. Пусть функция непрерывна на бесконечном интервале [a,+∞). Можно ли разумно ввести понятие определенного интеграла по этому интервалу ? По геометрическому смыслу определенного интеграла (площадь соответствующей криволинейной трапеции) интеграл такого типа должен иметь смысл площади неограниченной криволинейной трапеции, изображенной на рисунке. Но может ли площадь неограниченной фигуры быть конечным числом, а не бесконечностью? Иногда д а, а иногда нет. Как же можно определить площадь неограниченной фигуры, изображенной на рисунке? Можно поступить, например, так. Возьмем некоторое число b > a и обрежем эту фигуру вертикальной прямой, проходящей через число b на оси х. Площадь оставшейся слева фигуры (уже ограниченной) есть какое-то конечное число (которое, по геометрическому смыслу интеграла, можно вычислить как ). Будем теперь безгранично отодвигать вправо построенную правую вертикальную границу фигуры (что соответствует предельному переходу b→+∞). Может при этом возникнуть две ситуации. Либо площади фигур при таком процессе не приближаются ни к какому числу (или неограниченно растут до бесконечности). Либо эти площади неограниченно приближаются к некоторому числу (обозначим его S), т.е. существует конечный предел . Тогда естественно это число S считать площадью исходной неограниченной криволинейной трапеции и значением интеграла . Перейдем к точным определениям.

Выражение вида называется несобственным интегралом (1-го рода). Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, а число S называется его значением. Таким образом, можно по определению записать

(2) = .

Если же такой предел в правой части (2) не существует (или он равен бесконечности), то несобственный интеграл называется расходящимся и ему не приписывается никакое числовое значение.

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла (1-го рода) используется следующая схема:

1) верхний предел +∞ заменить буквой b и вычислить получившийся интеграл (в ответ, конечно, будет входить буква b);

2) в ответе перейти к пределу при b→+∞.

Если предел существует, то интеграл сходится, а его значение равно значению получившегося предела. Если предел не существует, то интеграл расходится.

Пример 2. Выяснить, при каких значениях параметра несобственный интеграл сходится, а при каких расходится.

Решение. По изложенной выше схеме вычисляем для произвольного значения положительного параметра , а затем в полученном выражении переходим к пределу при b→+∞. Поскольку неопределенный интеграл от функции имеет разный вид для и , то придется рассмотреть отдельно два этих случая.

1) Пусть . Тогда . Поскольку , то, по введенному выше определению, при расходится.

2) Пусть . Тогда . Теперь надо в этом выражении перейти к пределу при b→+∞: {поскольку от зависит только числитель в первом пределе}= . Поэтому при :

(3) .

Для вычисления в (3) придется опять различать 2 случая: и .

а) Пусть . Тогда . Поскольку , то , поэтому , а потому . Поэтому при предел в (3) существует: . Следовательно, при интеграл сходится, причем его значение .

б) Пусть . Тогда в (3) , поскольку показатель степени . Поэтому при предел в (3) равен бесконечности: . Следовательно, при интеграл расходится.

Таким образом, расходится при , а при он сходится: .

Точно так же с аналогичными определениями сходимости-расходимости вводится несобственный интеграл (1 рода), у которого верхний предел конечен, а нижний предел равен −∞:

(4) = .

Определим теперь несобственный интеграл от непрерывной функции по всей числовой прямой (−∞,+∞). Поскольку вводимые несобственные интегралы должны по свойствам походить на обычные, то желательно, чтобы выполнялось свойство: , которое можно взять в качестве определения несобственного интеграла . Если сходятся оба несобственных интеграла и , то несобственный интеграл называется сходящимся, а его значение принимается равным сумме интегралов:

(5) .

Если же хотя бы один из интегралов или расходится, то интеграл называется расходящимся.

Пример 3. Сходится ли интеграл ?

Решение. По определению (4) нужно выяснить, существует ли конечный предел . Вычислим интеграл под знаком предела, учитывая, что : . Тогда . Поэтому расходится.

Пример 4. Вычислить .

Решение. По формуле (4) :

={ с учетом, что } . Таким образом, интеграл сходится и .

Пример 5. Вычислить .

Решение. По формуле (5) : (6) ,

причем, если хотя бы один из несобственных интегралов в правой части расходится, то и сам интеграл считается расходящимся. Вычислим отдельно каждый из упомянутых интегралов: . Вычисляем интеграл под знаком предела: ={ на интервале интегрирования переменная интегрирования , а потому можно заменить на }= {используем формулу при и } . Поэтому (использовали, что , так как при стремлении показателя степени к минус бесконечности экспонента стремится к нулю). Вычисляем первый интеграл в правой части (6): . Имеем: ={ на интервале интегрирования переменная интегрирования , а потому можно заменить на }= . Поэтому . Таким образом, исходный интеграл сходится, а согласно (6) : .