Формула Ньютона-Лейбница
О каком же простом способе вычисления определенного интеграла шла речь выше? Ответ на этот вопрос дает знаменитая формула Ньютона-Лейбница, которая указывает на тесную связь неопределенного и определенного интегралов. Имеет место следующая
Теорема
(формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция
непрерывна на отрезке [a,b],
функция
является ее первообразной (т.е.
,
а потому известен неопределенный
интеграл :
) . Тогда
(1)
.
Для того чтобы
сделать эту формулу еще более компактной,
ввели следующее обозначение для разности
в правой части формулы:
(2)
.
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница (1) принимает с учетом обозначения (2) следующий окончательный вид:
(3)
.
Формула Ньютона-Лейбница утверждает, что для вычисления определенного интеграла от некоторой функции достаточно найти ее первообразную (т.е. фактически найти неопределенный интеграл) и взять разность ее значений на концах интервала. Однако, как мы увидим дальше, этот путь предварительного вычисления неопределенного интеграла нецелесообразен и приводит во многих случаях к лишней работе. Поэтому при вычислении определенного интеграла пользуются теми же приемами, что и при вычислении неопределенного интеграла, учитывая их специфику для определенного интеграла, о которой будет сказано позже.
Итак, площадь криволинейной трапеции выражается через определенный интеграл , а определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница (3). Попробуем теперь с помощью этих формул найти площадь фигуры, у которой ранее мы бы вычислить площадь не могли.
Пример. Найти площадь под одним витком синусоиды.
Решение. С
инусоида
это график функции
.
Имеется в виду площадь криволинейной
трапеции между осью
и графиком
в пределах изменения
(см. рисунок). Используем формулу для
площади
.
В нашем случае
,
,
.
Учтем, что
,
а потому первообразная для
есть
.
Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница
(3) получаем:
.
Таким образом, площадь под одним витком синусоиды равна 2 квадратным единицам.
Далее будет приведена формула, которая позволяет с помощью определенного интеграла вычислять площади фигур со многими криволинейными границами.
Свойства определенного интеграла
Поскольку
определенный интеграл тесно связан с
неопределенным (через формулу
Ньютона-Лейбница), то и свойства
определенного интеграла очень напоминают
свойства неопределенного интеграла.
Перечислим их.
1.
Постоянный множитель выносится за знак
интеграла:
.
2.
Интеграл от суммы-разности функции
равен сумме-разности интегралов от
слагаемых:
.
Эти два свойства аналогичны соответствующим свойствам неопределенного интеграла и легко доказываются с помощью формулы Ньютона-Лейбница. Если интеграл вычисляется только с помощью этих свойств (и таблицы неопределенных интегралов), то, как и в случае неопределенного интеграла, будем говорить, что применен метод непосредственного интегрирования. Следующие свойства специфичны именно для определенного интеграла.
3. По определению будем считать, что если верхний и нижний пределы интегрирования совпадают (a=b), то интеграл равен нулю:
4. Распространим понятие интеграла на случай, когда его верхний предел меньше нижнего (b < a). По определению будем считать, что в этом случае можно переставить пределы интегрирования местами (тогда придем к привычной ситуации, когда верхний предел больше нижнего), но при этом необходимо сменить знак получившегося интеграла:
5. Значение интеграла есть число, а потому оно не зависит от обозначения переменной интегрирования:
6.
Для любого числа
:
Это свойство имеет наглядный геометрический смысл (площадь фигуры равна сумме площадей ее частей) и легко доказывается с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Приведем примеры использования метода непосредственного интегрирования.
Пример 1.
Вычислить
.
Решение. Пользуемся методом непосредственного интегрирования:
{свойства 1 и 2
интеграла: интеграл от суммы разности
равен сумме-разности интегралов, а
числовые множители можно выносить за
знак интеграла}
{пользуемся формулой
Ньютона-Лейбница,
предварительно найдя соответствующие
первообразные из таблицы неопределенных
интегралов}
.
Итак,
.
Пример 2.
Вычислить
.
Решение. Аналогичная
цепочка преобразований:
{вычислим:
}
.
Итак,
.
Пример 3.
Вычислить
.
Решение.
.
Таким образом,
.
Пример 4.
Вычислить
.
Решение.
.
Итак,
.