Уравнения, допускающие понижение порядка

Одним из методов решения уравнений второго порядка является сведение его к последовательности уравнений первого порядка (если это, конечно, возможно). Итак, снова рассмотрим уравнение второго порядка вида

(1) .

Оказывается, что если формула в правой части (1) не содержит некоторых своих переменных, то в ряде случаев такое уравнение может быть сведено к последовательному решению уравнений 1-го порядка. Рассмотрим эти случаи.

1. Уравнения, не содержащие и . Пусть уравнение (1) в правой части не содержит и , т.е. является уравнением вида

(2) .

Это самый простой вид уравнения второго порядка, так как требует восстановить функцию по известной ее второй производной. Такого типа уравнение (уравнение ) мы решили в предыдущем параграфе, последовательным интегрированием находя сначала выражение для первой производной искомого решения, а затем и для самого решения . По этой же схеме решается и любое другое уравнение вида (2): вычисляя неопределенный интеграл от его правой части находят выражение для первой производной , а повторным интегрированием полученного выражения находят вид общего решения уравнения (2).

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Это уравнение не содержит искомой функции и ее производной . Деля обе части уравнения на , приведем его к виду (2): . Согласно предложенной выше схеме решения таких уравнений интегрированием его правой части находим сначала выражение для : . Таким образом, мы нашли выражение для производной искомого решения: . Повторным интегрированием правой части находим выражение для самого решения: = . Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид , где и − произвольные постоянные.

2. Уравнения, не содержащие . Пусть уравнение (1) в правой части не содержит искомую функцию , т.е. является уравнением вида

(3) .

Найдем сначала вспомогательную функцию такую, которая является производной от искомой функции : . Тогда вторая производная от решения окажется равной первой производной от , так как . Подставляя и в (3), получим, что если является решением (3), то вспомогательная функция должна быть решением уравнения

(4) .

Уравнение (4) – это уже уравнение 1-го порядка для нахождения функции , которое в некоторых случаях может быть решено методами, разобранными нами для решения уравнений первого порядка. Допустим, что мы одним их этих методов получили общее решение уравнения (4) в виде . Вспоминая, что , получаем выражение для производной искомого решения: . Как мы не раз уже делали, восстанавливаем функцию по ее производной с помощью интегрирования:

(5) .

Выражение (5) является общим решением уравнения (3), в котором постоянная интегрирования выписана явно, а потому при вычислении интеграла в (5) оставляем только одну первообразную (т.е. без «+С»).

Пример 2. Найти решение задачи Коши .

Решение. В этом примере необходимо найти такое решение уравнения

(6) ,

которое при принимает значение , производная которого при принимает значение . Найдем сначала все решения уравнения (6), а затем выберем из них нужное. Это уравнение не содержит искомой функции . Согласно предложенному выше плану решения таких уравнений найдем сначала выражение для функции, являющейся производной искомого решения, которую обозначим : . Тогда . Подставляя и в (6), получим, что вспомогательная функция должна быть решением уравнения

(7) .

Разрешая это уравнение (оно уже первого порядка) относительно производной , получим уравнение

(8) .

Это уравнение с разделяющимися переменными, так как его правая часть представляется в виде произведения двух функций и , каждая из которых зависит только от одной переменной и соответственно. Поэтому далее действуем по схеме решения таких уравнений, приведенной в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» (после уравнения (6) там):

1. Умножаем обе части (8) на : .

2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения: .

2) Вычисляя полученные интегралы: а) (табличный интеграл; «+С» в этом интеграле не пишем), б) {вносим под знак дифференциала, поправочный множитель при этом не нужен, так как }= {получается табличный интеграл вида при }= (модуль под знаком логарифма опущен, так как выражение положительно для всех значений ). Таким образом,

получаем следующий общий интеграл уравнения (8) :

(9) .

3) Получим из общего интеграла (9) общее решение уравнения (8). По лемме в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» общий интеграл вида дает общее решение , где − произвольная постоянная, не равная 0 ( ). Тогда из (9) получаем, что общее решение уравнения (8) имеет вид . Учитывая свойство логарифмов , получаем общее решение в виде

(10) ,

где может принимать любое значение, кроме .

4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (8). Учитывая, что получается в (10) как раз при , то выражение (10) содержит (при различных значениях ) все решения уравнения (8), но теперь произвольной постоянной будут позволены все числовые значения (и тоже!).

Заменим в (10) обозначение произвольной постоянной с на , поскольку далее у нас появится еще одна произвольная постоянная, которую мы обозначим . Таким образом, все решения уравнения (8) содержаться в формуле

(11) ,

где произвольная постоянная может пробегать любые числовые значения.

Вспоминая, что решения исходного уравнения (6) удовлетворяют условию , то из (11) получаем для искомой функции уравнение

(12) .

Вспоминая, что по известному выражению для производной сама функция восстанавливается вычислением неопределенного интеграла, получаем . Таким образом, общее решение уравнения (6) имеет вид

(13) .

Для решения исходной задачи Коши осталось определить конкретные значения произвольных постоянных и из условий и . Подставляя в (13) и (12), получаем из условий и следующую систему для определения и :

(14) .

Из второго уравнения системы сразу получаем . Подставляя это значение в первое уравнение системы (14), находим и : . Подставляя эти значения и в (13), получаем окончательное решение исходной задачи Коши: .

3. Уравнения, не содержащие независимой переменной . Это наиболее сложный случай по сравнению с разобранными выше. Пусть уравнение (1) в правой части не содержит независимую переменную , т.е. является уравнением вида

(15) .

Найдем сначала такую вспомогательную функцию от переменной , чтобы для любого решения уравнения (15) выполнялось такое тождество:

(16) .

Выясним теперь, какому дифференциальному уравнения должна удовлетворять функция с таким свойством . Итак, пусть есть решение уравнения (15), т.е выполнено такое тождество по переменной :

(17) .

Далее, пусть функция такова, что выполнено тождество (16). Возьмем производную от правой и левой части в тождестве (16) (учитывая для производной в правой части формулу для производной сложной функции):

(18) .

Левые части тождеств (17) и (18) равны, следовательно, должны быть равны и правые части, т.е. должно выполняться тождество:

.

Заменив, согласно (16), в этом тождестве на , получим, что должно выполняться тождество:

(19) .

Для того, чтобы обеспечить выполнение (19), достаточно найти такую функцию , для которой бы для всех выполнялось бы тождество:

(20) .

Соотношение (20) является дифференциальным уравнением уже 1-го порядка относительно вспомогательной функции . Опуская в уравнении (20), как обычно, для краткости аргумент искомой функции, получаем следующее уравнение:

(21) .

Допустим, что мы нашли общее решение этого уравнения:

(22) ,

где произвольная постоянная, появляющаяся при поиске общего решения уравнения 1-го порядка (21). Тогда, согласно (16) и (22), решение исходного уравнения (15) удовлетворяет тождеству , т.е. является решением еще одного уравнения 1-го порядка:

(23) .

Таким образом, поиск решения уравнения 2-го порядка вида (15) сводится к решению двух уравнений 1-го порядка: сначала ищется общее решение (22) уравнения (21) относительно функции , а затем ищется решение уравнения (23) относительно искомой функции . Заметим, что уравнение (21) получается из исходного уравнения (15) заменой в левой части на , а в правой части – на .

Пример 3. Найти решение уравнения .

Решение. Сначала приведем уравнение к виду (15), разделив обе его части на :

(24) .

Заметим, что, деля обе части уравнения на , мы теряем решение , которое потом обязательно учтем. То, что функция является решением исходного уравнения, проверяется непосредственной подстановкой ее в само уравнение. Уравнение второго порядка (24) не содержит независимой переменной . Поэтому по предложенной выше схеме сначала ищем такую вспомогательную функцию от переменной , чтобы для любого решения уравнения (24) выполнялось такое тождество . Как сказано выше, уравнение для получается из уравнения (24) заменой в левой части на , а в правой части – на :

(25) .

Решим это уравнение относительно функции . Перенося все в левую часть и вынося за скобку, получим : . Видно, что одно из решений этого уравнения:

(26) .

Другие решения уравнения (25) есть решения уравнения

(27) .

Решим уравнение (27). Это уравнение с разделяющимися переменными, так как его правую часть можно представить в виде произведения двух функций, зависящих порознь от одной из переменных: . Поэтому действуем по привычной схеме решения таких уравнений, приведенной в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» (с учетом, что независимая переменная теперь обозначена не , а , а искомая функция , а не :

1. Умножаем обе части (27) на : .

2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения:

.

2) Вычисляя полученные интегралы: а) (табличный интеграл; «+С» в этом интеграле не пишем), б) ={с учетом свойств логарифма: }= Таким образом, получаем следующий общий интеграл уравнения (27) :

(28) .

3) Получим из общего интеграла (28) общее решение уравнения (27). По лемме в параграфе «Уравнение с разделяющимися переменными» общий интеграл вида дает общее решение , где − произвольная постоянная, не равная 0 ( ). Тогда из (28) получаем, что общее решение уравнения (27) имеет вид . Учитывая свойство логарифмов , получаем общее решение в виде

(29) ,

где может принимать любое значение, кроме .

4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (27). Учитывая, что получается из (29) как раз при , то выражение (29) содержит (при различных значениях ) все решения уравнения (27), но теперь произвольной постоянной будут позволены все числовые значения (и ). Отметим, что при получим и отмеченное выше решение (26) уравнения (25). Таким образом, выражение (29) дает общее решение уравнения (25) при всевозможных значениях произвольной постоянной С.

Заменим в (29) обозначение произвольной постоянной с на , поскольку далее у нас снова появится еще одна произвольная постоянная, которую мы обозначим . Таким образом, все решения уравнения (25) содержаться в формуле

(30) ,

где произвольная постоянная может пробегать любые числовые значения.

Далее, согласно схеме решений уравнения такого типа, осталось решить уравнение вида (23), где, согласно (30), . Получаем уравнение на искомую функцию :

(31) .

Уравнение (31) − это снова уравнение с разделяющимися переменными, решаемое по известной схеме:

1. Умножаем обе части (27) на : .

2. Делим обе части полученного уравнения на , в результате чего получаем уравнение с разделенными переменными .

3. Решаем полученное уравнение по схеме решения уравнения с разделенными переменными.

1) Навешиваем значок перед правой и левой частью уравнения:

.

2) Вычисляя полученные интегралы: а) ( «+С» не пишем), б) . Таким образом, получаем следующий общий интеграл уравнения (31) :

(32) .

3) «Переворачивая» обе части в (32) и умножая их на , получим из общего интеграла (32) общее решение уравнения (31):

(33) ,

где и могут принимать любые значения (только одновременно не обращаться в , чтобы формула (33) имела смысл).

4. Поскольку в пункте 2 мы делили обе части уравнения на , то потеряли решение уравнения (31). Это решение мы заметили еще в самом начале, после получения уравнения (24).

Итак, решением исходного уравнения являются функции (при любых значениях и , одновременно не обращающимся в ) и функция .