Б) Решение обратной геодезической задачи

Сущность решения задачи заключается в определении по прямоугольным координатам двух точек расстояния между ними и дирекционного угла направления с одной точки на другую ( рисунок 15 ).

Х

У

В

Х _АВ d _AB Х

А У

У

Рисунок 15 - Решение обратной геодезической задачи

Из треугольника АВС d²_АВ = Х² + У² . Из этого же треугольника следует, что если направление находится в первой четверти, то дирекционный угол ( АВ вычисляется из соотношения

_АВ = arc tg (± У ) / (± ( Х ).

В общем случае для нахождения дирекционного угла направления необходимо определить румб направления по аналогичной формуле

r_АВ = arc tg ( ± У ) / ( ± Х ),

затем по знакам У и Х определить четверть, в которой находится направление, после чего перейти к дирекционному углу по соответствующей формуле таблицы 1.

Вычислив румб r и дирекционный угол направления, расстояние d между двумя точками можно вычислить по формулам

d = У / sin r = Х / cos r,

d = (± У ) / sin = ( ± Х ) / cos .

В). Измерение площадей по карте

Аналитический способ. Его применяют в том случае, если участок местности ограничен ломаной линией, а прямоугольные координаты вершин известны.

Принцип определения площади участка местности, показанного на рисунке 16, заключается в следующем:

- вершины участка проектируют на оси Х и У, в результате чего образуется ряд трапеций, основаниями которых являются координаты Хi вершин участков, а высотами – приращения координат Уi;

- вычисляют площади трапеций и получают площадь участка, как сумму площадей трапеций.

Х

Х_В B

Х_А A

Х_С C

А^' B^' С^'

0 У_А У_В У_С

Рисунок 16 - Аналитический способ определения площади

Рассмотрим в качестве примера определение площади участка местности, образованного треугольником АВС, координаты вершин которого Х_А, У_А; Х_В, У_В; Х_С, У_С.

Итак, необходимо определить площади трёх трапеций : АА'ВВ', ВВ'СС', АА'СС'.

Площади указанных трапеций определяются по формулам

S₁ = S _АА'ВВ' = 0.5 (Х_А + Х_В) (У_В – У_А ),

S₂ = S _DD'CC' = 0.5 (Х_B + Х_C) (У_C – У_B ),

S₃ = S _АА'CC' = 0.5 (Х_А + Х_C) (У_C – У_А ).

Площадь S треугольника АВС может быть вычислена по формуле

S = S₁ + S₂ + S₃.

Сложив выражения для определения площадей и выполнив несложные преобразования, получим

S = 0.5 Х_А (У_В – У_С)+ Х_В (У_С – У_А) + Х_С (У_А – У_В)

или

S = 0.5 У_А (Х_С – Х_В)+ У_В (Х_А – Х_С) + У_С (Х_В – Х_А).

Если вершины участка пронумеровать по часовой стрелке, то формулы определения площади можно представить в следующем обобщённом виде:

S = 0.5 Х_i ( У _i+1 - У _i-1 ),

S = 0.5 У_i ( Х _i-1 - Х _i+1 ),

где i = 1, 2, 3 ..., n.

Механический способ. Он основан на использовании специального прибора – полярного планиметра ( рисунок 17 ).

Рисунок 17 - Полярный планиметр

Данный планиметр имеет два рычага - полюсный 1 и обводной 2, соединённых шаровым шарниром 3, укреплённым на конце полюсного рычага. На обводном рычаге помещена передвижная каретка 4 с отсчётным устройством 5. Обводной рычаг имеет на конце ручку 6 и лупу 7 с кружком в центре ( в первых образцах планиметров вместо лупы на конце обводного рычага закреплена игла )

Перед измерением площади центр лупы устанавливают над какой-то точкой контура, принятой за начальную и по отсчётному механизму делают отсчёт u₁. Затем обводят измеряемую площадь и снимают отсчёт u₂ после установки центра лупы вновь над начальной точкой.

В принципе искомая площадь вычисляется по формуле

S = C ( U₂ – U₁ ),

где С – цена одного деления планиметра.

Величина С определяется несколькими обводами контура геометрической фигуры известной площади. В качестве неё выбирают, как правило, контур одного или нескольких квадратов километровой сетки.

Для обеспечения достаточной точности площадь вычисляют по результатам нескольких обводов участка карты или плана.

Точность определения площади обоими способами неодинакова. Наибольшей точностью (1:1000) характеризуется аналитический способ. Механический способ позволяет определить площадь с относительной ошибкой 1:200 - 1:300.