![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Глава 2
- •2.1. Понятия пространства и времени
- •2. 2. Принцип инерции. Инерциальные системы
- •2.3. Механический принцип относительности и
- •2.4. Специальный принцип относительности и
- •Скорость света в вакууме как предельная скорость
- •Относительность одновременности
- •3. Замедление времени
- •4. Сокращение длины
- •5. Релятивистский закон сложения скоростей
- •2.6. Пространственно-временной континуум
2.4. Специальный принцип относительности и
преобразования Лоренца
Согласно принципу относительности Галилея все механические явления во всех инерциальных системах отсчета при одинаковых условиях протекают одинаково. Но возникает вопрос: распространяется ли принцип относительности на другие, не механические, явления? Ответ на этот вопрос был дан А. Эйнштейном в 1905 году. Согласно Эйнштейну, принцип относительности спра-координатыведлив не только для механических, но и для любых физических явлений. Все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчета; все законы природы и уравнения их описывающие, не меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Ни одна из инерциальных систем не имеет преимущества перед другими. Все они равноправны как в отношении механических, так и в отношении электрических, оптических и вообще всех физических явлений. Эти утверждения составляют содержание специального принципа относительности. Он является и первым постулатом, созданной Эйнштейном, специальной теории относительности. В качестве второго постулата Эйнштейн принял принцип постоянства скорости света, согласно которому скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от движения источника и приемника света. Это означает, что классический закон сложения скоростей к скорости света в вакууме не применим. Скорость света в вакууме не складывается со скоростью движения системы отсчета и всегда равна c, не зависимо от взаимного направления векторов Vи c: c(V) = const. Скорость света, таким образом, не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е. является величиной инвариантной: c = inv.
Получим математическое
выражение, учитывающее оба постулата
теории относительности. Рассмотрим
опять две инерциальные системы отсчета:
условно неподвижную S
и движущуюся относительно нее вдоль
оси X
со скоростью V
систему S′.
Пусть в момент времени
в общем (совпадающем) начале отсчета
производится вспышка света. За время t
в системе S
эта вспышка доходит до точек, находящихся
на расстоянии r
= ct
от начала координат. С другой стороны,
это расстояние равно
Приравнивая оба выражения, находим
(2.5)
Мы получили уравнение сферы радиуса ct. Соотношение (2.5) можно записать в виде
(2.6)
Таким образом,
распространение света из точечного
источника можно представить как
распространение светового фронта,
имеющего форму сферической поверхности
в системе отсчета S,
относительно которой источник света
неподвижен. Согласно принципу
относительности Эйнштейна, для наблюдателя
в системе отсчета
,
световой фронт должен быть также
сферическим, поэтому уравнение
сферического фронта в движущейся системе
отсчета
должно иметь вид
Здесь учтено, что величина скорости света в системе равна тому же значению c, что и в системе S. Отсюда получаем, что
(2.7)
Как видим,
(2.8)
Это и есть математическое выражение, учитывающее как специальный принцип относительности, так и постулат постоянства скорости света в вакууме. Следовательно, квадратичная форма (2.6) не должна менять вида (или, как говорят, быть инвариантной) при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, т.е.
Преобразования координат и времени от одной системы отсчета к другой должны удовлетворять условию (2.6) или, иначе, тем свойством, что например, после замены с помощью преобразований в (2.6) «штрихованных» величин на «не штрихованные» мы должны вновь получить уравнение сферического фронта.
Легко убедиться,
что преобразования Галилея этому
требованию не удовлетворяют, и должны
быть, поэтому, заменены другими. Эти
новые преобразования должны, кроме
указанного выше требования, обладать
еще и тем свойством, что в пределах
справедливости классических представлений,
когда V
<< c,
т.е. при
они должны переходить в преобразования
Галилея1.
Как и преобразования Галилея, они должны
быть линейными как относительно
координат, так и относительно времени.
Действительно, вследствие однородности
пространства и времени никакие
преобразования не должны изменяться
при переносе начала координат и сдвига
во времени, т.е. при замене
и
,
а этим свойством обладают только линейные
зависимости. Только в случае линейных
преобразований событие, наблюдаемое в
одной системе отсчета, будет
преобразовываться лишь в одно событие,
в другой системе отсчета.
Всем указанным выше требованиям удовлетворяют преобразования, полученные Лоренцем и носящие его имя:
(2.9)
Эти формулы описывают преобразования координат и времени при переходе от системы к системе S. Формулы обратного преобразования можно получить, как и в случае обратных преобразований Галилея. Будем иметь
(2.10)
Дадим вывод формул (2.9). Подставляя преобразования Галилея в соотношение (2.7), получим
Полученное выражение
не совпадает с выражением (2.6) из-за
наличия слагаемого
.
Чтобы избавиться от этих нежелательных
слагаемых в преобразовании времени
к правой части следует добавить член,
пропорциональный координате x,
т.е. положить, что
где
– подлежащий определению коэффициент.
Преобразования же
и
и
должны
остаться без изменения, так как двучлен
в
равенстве (2.7) преобразуются в двучлен
.
С учетом этих замечаний получаем
(2.11)
Все нежелательные
содержащие произведения xt
исчезнут, если
положить
Решая это уравнение, находим
Тогда
При таком выражении для
равенство (2.11) приводится к виду
Эта квадратичная
форма отличается от (2.7) лишь множителем
при
и
.
Его также можно исключить, если записать
искомые преобразования в виде (2.9).
Величина c,
фигурирующая в преобразованиях Лоренца,
как уже отмечалось, играет роль скорости
тех сигналов (электромагнитных), которые
используются для синхронизации часов.
Если скорость синхронизирующего сигнала
то преобразования Лоренца (2.9) и (2.10)
переходят в преобразования Галилея
(2.3.) и (2.4). На неявном предположении о
возможности синхронизации часов с
помощью мгновенно распространяющихся
сигналов, как уже отмечалось, и основано
было классическое представление о
пространстве и времени. В действительности
же
Однако если скорость относительного
движения систем отсчета
то
и преобразования (2.9) и (2.10) переходят в
классические преобразования Галилея,
как и при
Это означает, что классические
представления о пространстве и времени
справедливы при скоростях движения тел
и сигналов
2.5. Следствия из преобразований Лоренца.