6.6.1 Критерій Стьюдента ( кртерій)

Розглянемо критерій (6.1)

з . Де - об’єм вибірки. Вважається, що чисельник та знаменник у виразі (6.1) незалежні. Однак це має місце лише за умови нормального розподілу елементів вибірки. В інших випадках має місце кореляція між чисельником та знаменником з коефіцієнтом кореляції

. (6.2)

Враховуючі той факт, що відповідає за симетрію функції розподілу в.в. і для симетричних розподілів та , з (6.2) виходить, що для симетричних розподілів та за умови достатньо великого об’єму вибірки критерій буде стійким. У [1, с. 144] наведено таблицю довірчих інтервалів для помилки першого роду для різних розподілів, яка дає змогу визначити умови, при яких критерій (6.1) є робастним.

Для стійких випадків критерій (6.1) дає змогу будувати коректні довірчі інтервали для математичних сподівань в. в. та коефіцієнтів регресії.

Стійкість критерію значно більше при порівнянні математичних сподівань двох в. в. У цьому випадку критерій обчислюється за формулою (6.2). Доведено, що якщо обидві вибірки мають один і той же закон розподілу, але відмінний від нормального, то чисельник і знаменник (6.2) корельовані з коефіцієнтом кореляції, при цьому

. (6.3)

З (7.3) також виходить, що для симетричних розподілів та за умови достатньо великого об’єму вибірки критерій буде стійким. А при критерій буде стійким і для випадку несиметричних розподілів. У [4] наведено таблицю, яка дає змогу коректного використання критерію (6.3) для різних комбінацій розподілів та об’ємів вибірок.

Велика стійкість критерію (6.3) має велике значення у промисловій статистиці, соціології, медицині, психології, педагогіці, метрології, маркетингу і т. ін. – скрізь, де має місце дослідження ефекту „до-після” з метою виявлення так званого „ефекту обробки”, особливо для випадків малих вибірок.

6.6.2 Критерій Фішера ( критерій). Модифікований критерій (критерій Бокса-Андерсена)

Чутливість критерію також залежить від гіпотези, що перевіряється. критерій найбільш чутливий при перевірці гіпотези щодо рівності двох дисперсій, що має місце головним чином в схемі дисперсійного аналізу. Дослідження показують, що на стійкість критерію найбільш впливає ексцес, який характеризує ступінь гостровершинності розподілу. При цьому Бокс та Андерсен показали, що для більшості випадків порушень нормальності, що мають місце на практиці, вкрай несуттєво впливають на номінальне значення критерію. Для випадків суттєвого порушення передумови нормальності Бокс та Андерсен запропонували модифікований критерій (критерій Бокса-Андерсена). Вони показали, що при розподілах, відмінних від нормального, критерій має розподіл, яке достатньо точно може бути апроксимовано розподілом з наступними степенями свободи:

та , (6.4)

де константа, що має назву „модифікуючого” множника. У свою чергу

, (6.5)

. (6.6)

Модифікуючий множник перетворює нестійкий критерій в стійкий. Однак при малих об’ємах вибірок за потужністю модифікований критерій поступається стандартному при .

Альтернативою модифікованому критерію є критерій Лєвєна [6]. Критерій Лєвєна дещо перевершує модифікований критерій за стійкістю, але поступається йому у потужності.

У дисперсійному аналізі стандартний критерій має велику стійкість і може використовуватись у широкому діапазоні зміни асиметрії та ексцесу досліджуваних випадкових величин.

Література

1. Митков А. Л., Кардашевский С. В. Статистические методы в сельхозмашиностроении. – М.: Машиностроение, 1978.– 360 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. Пособие для втузов. Изд-е 5-е, перераб и доп., М., "Высш. Школа", 1977.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа,1977 г.

4. Гласс Дж. Стэнли. Статистические методы в педагогике и психологии. Перев. с англ. Изд-во „Прогресс”, -М., 1976/

5. Boneau C. A. “The effects of violations of assumptions underlying the t-test”. Psychological Bulletin, 57 (1960), 49-64.

6. Levenbe H. Robust test for equality of variances, contributions to probability and statistics. – Stanford University Press, 1960, p. 278-292.

* - Для самостійного вивчення.

10