3.1.1. Методи точкового оцінювання

3.1.1.1. Метод моментів

Нехай – вибірка з розподілу . Необхідно одержати оцінки для невідомих параметрів . Першим загальним методом оцінки є метод моментів, запропоновані К. Пірсоном.

Суть методу полягає в прирівнюванні певної кількості вибіркових моментів відповідним теоретичним моментам

Розглянемо кількість моментів, що дорівнює кількості невідомих параметрів та одержимо систему рівнянь

3.1.1.2. Метод максимальної правдоподібності

Метод запропонований Фішером:

Дискретні ВВ. Нехай - вибірка з дискретної випадкової величини із заданим законом розподілу . Необхідно оцінити невідомий параметр .

Позначимо через ймовірність того, що в результаті випробування випадкова величина набуде значення .

Визначення 16. Функцією правдоподібності дискретної випадкової величини називається функція аргументу :

, де - фіксовані числа.

Визначення 17. Оцінка знайдену за умови максимуму функції правдоподібності, тобто називається оцінкою максимальної правдоподібності.

Функції і досягають максимуму при одному і тому ж значенні, тому зручніше шукати функції .

Визначення 18. Логарифмічною функцією правдоподібності називається функція

Етапи пошуку :

1. Знаходимо ;

2. Знаходимо критичну точку з розв'язку рівняння: ;

3. Знаходимо . Якщо в точці , то - точка .

3.1.2. Нерівність Крамера-Рао* (самостійно)

3.2. Оцінки параметрів деяких розподілів

Розглянемо точкові оцінки для низки стандартних розподілів, що найбільш часто зустрічаються на практиці.

3.2.1. Оцінка параметрів нормального розподілу

3.2.2. Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу [10]

Як показують дослідження останніх років ознаки виробничо-господарчої діяльності підприємств мають витягнуті в той чи інший бік розподіли з «важкими» хвостами. Тьюки показав, що по мірі віддалення істинного розподілу від нормального вибіркове середнє швидко втрачає свої властивості найкращої оцінки центру нормального розподілу.

Будемо вважати, що нормальний розподіл засмічений нормальними викидами з ти м же середнім, але зі значно більшою дисперсією.

Нехай - доля засмічення розподілу розподілом , тоді ця вибірка належить генеральній сукупності з щільністю розподілу

. (*)

Якщо при цьому спостережувана вибірка , то не є найкращою для параметра як центру розподілу.

Таким чином, якщо на основний розподіл типу накласти засмічуючий зі середнім квадратичним відхиленням, що дорівнює трьом, то Тьюкі пропоную наступну оцінку параметра :

,

де - варіаційний ряд вибірки , - усічена оцінка середнього значення, - найбільше ціле число у , . Відмітимо, що при співпадає зі середнім значенням . Відомо, що . Це дає змогу отримати довірчий інтервал для .

3.2.3. Оцінка параметрів рівномірного розподілу

, де

3.2.4. Оцінка параметрів логарифмічно нормального розподілу

Примітка: Параметри реальних ознак, підлеглих цьому закону:

1. Довговічність виробу, експлуатованого в режимі зносу і старіння.

2. Розмір і об'єм частинок при дробленні.