§ 3. Операции над комплексными числами
Различные операции над комплексными числами удобнее проводить с различными формами комплексных чисел.
1. Сложение.
Сложение удобнее производить над
комплексными числами в алгебраической
форме. Суммой двух комплексных чисел
и
называется
комплексное число определяемое
равенством:
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).
Пример 6. (1 + i) + (–2 + 3i) = (1– 2) + i(1 + 3) = –1 + 4i.
2. Вычитание.
Операция вычитания вводится как обратная к операции сложения:
разностью двух чисел z1 и z2 называется число z3 такое, что сумма z3 и z2 равна z1, т.е. z1 – z2 = z3: z1 = z2 + z3.
3. Умножение.
Умножение производится над комплексными числами во всех формах: алгебраической, тригонометрической, показательной:
z1 · z2 = (x1 x2 – y1 y2) + i(х1 y2 + х2 y1),
z1
· z2
=
z1 · z2
=
Замечание. Доказательство данных формул следует из определения мнимой единицы и правил умножения, а также тригонометрических формул.
Пример 7. Перемножить комплексные числа:
1) (1 + i) · (–2 + 3i) = (по определению) = (1· (– 2) – 1· 3) + i(1 · 3 + 1 · (–2)) = –5 + i.
(1 + i) · (–2 + 3i) = (перемножаем как многочлены) = – 2 + 3i –2i +i · 3i = –2 + i – 3= = –5 + i.
Пример 8. Получить значения in, где n – натуральное число.
Решение.
,
,
,
,
,
и т.д.,
Прослеживается закономерность: результат
повторяется через четыре действия. Зная
это, легко можно найти значение i
в любой степени, например,
.
Замечание 1. Заметим, что
4. Деление.
Операция деления вводится как обратная
к операции умножения: частным двух
чисел z1 и z2
называется число z3
такое, что произведение z3
и z2 равно z1,
т.е.
:
z1 = z2
· z3, поэтому,
чтобы избавиться от комплексного числа
в знаменателе, умножают и числитель, и
знаменатель на сопряженное знаменателю
комплексное число:
.
Пример 9. Найти частное двух комплексных
чисел
и
.
Решение.
.
В тригонометрической форме:
.
5. Возведение в степень.
Возведение в степень удобнее производить над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах:
– формула Муавра,
Замечание. Формула Муавра следует из перемножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Пример 10. Возвести в квадрат число
.
Решение.
(–2 + 3i)2 = (–2)2 +2(–2)3i +(3i)2 = 4 – 12i – 9 = –5 – 12i.
Пример 11. Возвести в шестую степень
комплексное число
.
Решение.
,
в данном случае для нахождения значения
выражения удобнее представить число
в тригонометрической форме:
,
,
тогда
=
=
6. Извлечение корня.
Извлечение корня удобнее производить над комплексными числами в показательной и тригонометрической формах.
Определение 10.
Корнем n – ой степени
из комплексного числа z,
,
называется число W
такое, что
–
многозначная функция (имеет несколько
значений, в зависимости от n),
в связи с чем записывается:
,
где
Значение
можно найти в тригонометрической или
показательной формах:
,
ReiФ,
где
,
Ф =
(
r и φ
– соответственно модуль и аргумент
числа z).
Все значения корня располагаются на окружности, радиус которой , а точки, соответствующие комплексным числам – корням Wk , делят окружность на n равных частей.
Пример 12. Вычислить
.