Паралельне проектування

Паралельне проектування є окремим випадком центрального проектування, коли центр проекцій лежить в невласній точці S, тому всі проектувальні промені паралельні між собою.

Рисунок 2

Апарат паралельного проектування заданий, якщо задано положення площини проекцій і напрям проектування S.

При завданні апарату паралельного проектування кожна точка простору має одну і лише одну паралельну проекцію. Зворотне твердження не має місця.

Паралельне проектування ділиться на:

• Прямокутне - = 90° ( - кут падіння проектувального променя до площини проекцій).

• Косокутне - 90°.

Основні інваріантні (незалежні) властивості паралельного проектування

При паралельному проектуванні порушуються метричні характеристики геометричних фігур (відбувається спотворення лінійних і кутових величин), причому ступінь порушення залежить як від апарату проектування, так і від положення проектованої геометричної фігури в просторі по відношенню до площини проекції.

Рисунок 3

П риклад: (A,B,C,D) || П1 |AB|≠|A1B1|, |BC|≠|B1C1| і т.д. |DAB|≠|D1A1B1|, |ABC|≠|A1B1C1| і т.д.

Але разом з цим, між оригіналом і його проекцією існує певний зв'язок, який полягає в тому, що деякі властивості оригіналу зберігаються і на його проекції. Ці властивості називаються інваріантними (проектними) для даного способу проектування.

В процесі паралельного проектування (отримання проекцій геометричної фігури по її оригіналу) або реконструкції креслення (відтворення оригіналу по заданих його проекціях) будь-яку теорему можна скласти і довести, базуючись на інваріантних властивостях паралельного проектування, які в накреслювальній геометрії грають таку ж роль, як аксіоми в геометрії.

Отже, можна стверджувати, що в накреслювальній геометрії існують дві системи аксіом:

• одна система використовується при паралельному проектуванні - це інваріантні властивості паралельного проектування.

• інша система використовується, коли проекції побудовані і вирішується плоске завдання (завдання на площині) - це аксіоми евклидової| геометрії.

Звідси ясно, наскільки важливо з'ясувати і добре засвоїти ці інваріантні властивості.

Інваріантні властивості паралельного проектування:

1. Проекція точки є точка:

2. Проекція прямої лінії на площину є пряма лінія:

(Для всіх прямих l, не паралельних напряму проектування, проекція прямої є пряма.)

3. Якщо в просторі інцидентна точка (яка належить лінії), то проекція цієї точки належить проекції лінії.

Слідство: Якщо прямі перетинаються в точці K, то проекції прямих перетинаються в проекції точки – K₁.

4. Проекції взаємно паралельних прямих також взаємно паралельні:

5. Відношення відрізків прямою рівне відношенню проекцій цих відрізків:

6. Якщо плоска фігура паралельна площині проекцій, то на цю площину вона проектується в конгруентну фігуру:

При паралельному перенесенні площини проекцій величина проекцій не зміниться, отже, ми можемо не показувати положення площини проекцій.

Для побудови оборотного креслення необхідно мати дві взаємозв'язані проекції оригіналу.

Тому тільки прямокутне (ортогональне) проектування, принаймні, на дві взаємно перпендикулярних площині проекцій є основним методом побудови технічного креслення (метод Монжа).

Ортогональне (прямокутне) проектування володіє поряд переваг перед центральним і паралельним (косокутним) проектуванням.

До них в першу чергу слід віднести:

• простоту геометричних побудов для визначення ортогональних проекцій точок;

• точність та зручність вимірювань;

• можливість за певних умов зберігати на проекціях форму і розміри оригіналу.

Тому цей метод зручний для визначення та нанесення| розмірів.

Метод Монжа

Метод Монжа полягає у паралельному прямокутному проектуванні геометричних об’єктів на дві взаємно перпендикулярні площини: горизонтальну і фронтальну.

Французький геометр Гаспар Монж (1746-1818гг.) є творцем ортогональних проекцій і основоположником накреслювальної геометрії.

		Історична справка Монж Гаспар (10.5.1746-28.7.1818) - французький геометр і громадський діяч, професор Мез’єрської військово-інженерної школи (з 1768 р.), член Паризької Академії Наук (1780 р.), один із засновників і професор Політехнічної школи в Парижі (з 1794 р.) і її багаторічний директор. Творець накреслювальної геометрії. Народився в Бон Кот-д'0р. Закінчив Школу військових інженерів в Мез’є рі. З 1768 р. - професор математики, з 1771 р. - також професор фізики в цій школі. З 1780 р. викладав гідравліку в Луврській школі (Париж). Займався математичним аналізом, хімією, метеорологією, практичною механікою. Вирішив ряд завдань аналітичної геометрії в просторі. Дав грунтовний виклад диференціальної геометрії просторових кривих і поверхонь. Запропонував геометричне тлумачення рівнянь з приватними похідними і, з іншого боку, виклад геометричних фактів на мові цих рівнянь. Основні праці Монжа відносяться до геометрії. Помер у віці 72 років в Парижі.
Рисунок 4 – Портрети Г. Монжа
В період Французької буржуазної революції працював в комісії зі встановлення нової системи мір і вагів, потім в 1792–93 рр|. був морським міністром і організатором національної оборони. У 1793 р. завідував пороховими і гарматними заводами республіки. Брав активну участь в створенні Вищої нормальної школи (1794 р.), Політехнічної школи (1794 р.). Під час Директорії був близьким до Наполеону, брав участь в його поході до Єгипту в 1798–1801 рр. і заснуванні в Каїрі Єгипетського інституту (1798 р.). Повернувся до Франції разом з Бонапартом; відновив викладання в Політехнічній школі. Під час Першої імперії Монж став сенатором, одержав титул графа. В період Реставрації був позбавлений всіх прав і вигнаний з Політехнічної школи і Академії наук (1816 р.). Одержав усесвітнє визнання, створивши (у 70-і роки) сучасні методи проекційного креслення і його основу - накреслювальну геометрію. Головний твір Монжа з цих питань - "Накреслювальна геометрія"; опублікована в 1799 р. Виходячи з ідеї проектування предметів на дві взаємно перпендикулярні площини, Монж створив загальний метод зображення просторових фігур на площині. У роботах «Мемуар про розгортки, радіуси кривизн і різні пологи перегину кривих двоякої кривизни» (1771) і «Про властивості багатьох пологів кривих поверхонь...» (1775) Монж дав грунтовний виклад диференціальної геометрії просторових кривих і поверхонь: вивчив еволюти просторових кривих, кривизни поверхонь, досліджував огинаючі поверхні і т.  д, що розгортаються. У 1881 розглянув загальні властивості нормальних конгруенцій і ввів в науку лінії кривизни поверхонь. Важливі відкриття зробив також в диференціальній геометрії. Перші роботи Монжа про рівняння поверхонь опубліковані в 1770 р. і 1773 р. У 1795 р і 1801 р видані роботи Монжа про кінцеві і диференціальні рівняння різних поверхонь. У 1804 р. видана книга "Застосування аналізу в геометрії". У ній Монж розглядав циліндрові і конічні поверхні, які утворюються рухом горизонтальної прямої, що проходить через фіксовану вертикальну пряму, поверхні "каналів", поверхні, в яких лінії найбільшого ухилу скрізь утворюють постійний кут з горизонтальною площиною; поверхні перенесення і т.д. Як додаток до книги Монж дав свою теорію інтегрування рівнянь з приватними похідними 1-го порядку і своє рішення задачі про коливання струни. Для кожного з видів поверхонь вивів спочатку диференціальне, потім кінцеве рівняння. Перший позначив буквами p і q приватні похідні від z по x і у, а буквами r, s і t - похідні 2-го порядку. Крім важливих відкриттів у диференціальній геометрії у роботі «Додаток аналізу до геометрії» (1795) дано геометричне тлумачення рівнянь з приватними похідними і, з іншого боку, виклад геометричних фактів на мові рівнянь з приватними похідними. Монжу належать також роботи по математичному аналізу, хімії, оптиці, метеорології і практичній механіці.

Точка у системі двох площин проектування

Виберемо дві взаємно перпендикулярні площини проектування: П1 – горизонтальну і П2 – фронтальну (рис. 5). Ці площини утворюють систему П1П2. Лінія перетину цих площин називається віссю проекцій х₁₂. Індекс 12 показує, що ось проектування належить двом площинам – першій і другій.

Рисунок 5 – Система П1П2

Ось проектування х₁₂ розподіляє кожну площину проектування на дві поли: позитивну і негативну (див. рис. 5).

Горизонтальна площина П1 та фронтальна площина П2 розподіляють простір на чотири двогранних кута – квадранти (рис. 6). Завжди вважають, що спостерігач знаходиться у першому квадранті.

Рисунок 6 – Розташування квадрантів у системі П1П2

Розташуємо у першому квадранті системи П1П2 точку А (рис. 7) . Для того, щоб визначити її проекції: горизонтальну А₁ і фронтальну А₂ необхідно з точки А опустити перпендикуляри (проектувальні промені) на відповідні площини. Точкою перетину перпендикуляру до площини П1 проведеного через точку А і горизонтальної площини проектування П1 є горизонтальна проекція точки А - точка А₁. Необхідно звернути увагу та те, що точки в накреслювальній геометрії означаються порожніми колами. Точкою перетину перпендикуляру до площини П2 проведеного через точку А і фронтальної площини проектування П2 є фронтальна проекція точки А – точка А₂.

Рисунок 7 – Горизонтальна і фронтальна проекції точки А в системі П1П2:

А1– горизонтальна проекція точки А (на горизонтальній площині П1), А2– фронтальна проекція точки А (на фронтальній площині П2).

Два перпендикуляра (проекційних променя) АА₁| і АА₂ визначили площину, яка є перпендикулярною до обох площин проекцій - площин П1 и П2 і до їх лінії перетину – вісі проекцій. Ця площина перетинає вісь проекцій х₁₂| в точці А_х і утворює дві взаємно перпендикулярні прямі: А₁А_х і А₂А_х, які перетинаються в точці А_х на вісі проекцій. Причому довжина відрізку |А₁А_х| дорівнює відстані від точки А₁ до площини П1, а довжина відрізку |А₂А_х| - відстані від точки А₂ до площини П2.

Перейдемо тепер до утворення комплексного креслення. Для цього повернемо площину П1 разом з проекцією А₁ вниз навколо осі x₁₂ на кут 90° до поєднання з площиною П2 (рис. 8). Позитивна пола площини П1 суміститься з негативною полою площини П2 у нижній частині комплексного креслення, а негативна пола площини П1 суміститься з позитивною полою площини П2 у верхній частині комплексного креслення.

Рисунок 8 –Утворення комплексного креслення

У площині комплексного креслення розташовані дві площини, які є сумісними: горизонтальна і фронтальна. Коли площини П2 і П1 поєднаються в одну, перпендикуляри А₁А_х і А₂А_х будуть розташовані один на продовженні іншого, тобто будуть однією прямою, яка є перпендикулярною осі x₁₂ (рис. 9). Це дозволяє записати основну властивість проекцій точок: на комплексному кресленні фронтальна і горизонтальна проекції точки завжди знаходяться на одному перпендикулярі до осі проекцій x_12, який називають вертикальною лінією зв'язку.

Рисунок 9 – Комплексне креслення точки у системі двох площин проектування

Комплексне креслення у системі двох площин проекцій має ще одну назву - епюр Монжа. Після переходу до епюру Монжа втрачається просторова картина розташування площин проекцій. На комплексному кресленні немає самої крапки А, є тільки її проекції (зображення). Вираз «побудувати точку А на комплексному кресленні...” слід розуміти як завдання на побудову проекцій цієї точки.

На відміну від цього на наочному зображенні (див. рис. 8) є і сама крапка А, і її проекції А₁ і А₂. Крапки, що знаходяться в просторі, позначають прописними буквами латинського алфавіту без яких-небудь індексів.

Ми розглянули приклад, коли точка А знаходилась у першому квадранті простору. Але точка А може бути розташована у будь-якому квадранті, тому її проекції можуть знаходитись в різних полах площин проектування.

Розглянемо різні варіанти розташування точок у просторі і їх проекцій на полах площин проектування (Рис. 10).

Рисунок 10

Точка	Розташування точки	Розташування проекції
		горизонтальної	фронтальної
А	І квадрант	позитивна пола П1 (+)	позитивна пола П2 (+)
В	ІІ квадрант	негативна пола П1 (-)	позитивна пола П2 (-)
С	ІІІ квадрант	негативна пола П1 (-)	негативна пола П2 (-)
В	ІVквадрант	позитивна пола П1 (+)	негативна пола П2 (-)

Питання для підготовки до модульного контролю

1. Що є методом накреслювальної геометрії?

2. Чим займається накреслювальна геометрія?

3. Які види проектування Вам відомі? Чим вони відрізняються одне від одного?

4. У чому суть центрального проектування?

5. Що необхідно мати для побудування центральної проекції точки?

6. Що називають проектувальним променем?

7. Скільки проекцій при центральному проектуванні з заданим апаратом проектування (П1,S) може мати точка?

8. Чи можуть проекції трьох точок при центральному проектуванні співпадати?

9. Чи визначає одна центральна проекція точки її положення у просторі?

10. Які у центрального проектування є гідність та недолік?

11. Як задати апарат паралельного проектування?

12. В чому суть паралельного проектування7

13. Які види паралельного проектування Вам відомі?

14. Скільки проекцій має точка при заданому апараті паралельного проектування (П1,S)?

15. Які Вам відомі основні інваріантні властивості паралельного проектування?

16. Які системи аксіом існують у накреслювальній геометрії? Коли вони використовуються?

17. Які переваги паралельного проектування перед центральним?

18. У чому заключається метод Монжа?

19. Як побудувати епюр Монжа?

20. Які площини проекцій утворюють систему П1П2?

21. Що називається віссю проекцій. Як вона означається при побудуванні епюр Монжа?

22. Що називається полою площини проекцій? Скільки їх? Як вони розташовані у просторі?

23. Як розташовані квадранти простору? Скільки їх?

24. Як побудувати точку на епюрі Монжа?

25. Як визначити відстань від точки до площин проекцій?

26. Що називається вертикальною лінією зв’язку?

27. Які бувають варіанти розташування точки у квадрантах простору? Як у цих випадках розташовані проекції цієї точки?

28. Побудуйте на епюрі Монжа точку, яка лежить на площині П1 у негативній полі.

29. Побудуйте на епюрі Монжа точку, яка лежить на площині П2 позитивні полі.

30. Чи можуть на епюрі Монжа горизонтальна і фронтальна проекції точки співпадати?

31. Побудуйте на епюрі Монжа точку, яка лежить на осі проекцій.