Системы счисления и представление данных в памяти компьютера Тема "Системы счисления"
Разделы темы:
1. Основные понятия и определения.
2. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую.
3. Операции над данными в различных системах счисления.
1. Основные понятия и определения.
Система счисления, это способ записи чисел с помощью заданного набора символов (алфавита).
Символы называют цифрами, символические изображения чисел – кодами, правила получения кодов – системами счисления.
Существуют системы позиционные и непозиционные.
Непозиционные – значение (вес) каждой цифры не зависит от ее положения в записи числа. Примеры – унарная, римская система счисления, в которой для изображения чисел используются следующие коды:
I – палец = 1 V – ладонь = 5 X – две ладони = 10
C – Centum = 100 D – Demimille – ½ тысячи M – Mille =1000
Например, XXVIII = 28.
Вес цифры X в любой позиции равен десяти.
Позиционные – значение цифры зависит от ее положения в коде числа. Примеры – десятичная, двоичная и так далее.
Достоинства позиционных систем счисления – ограниченное число символов алфавита и простота выполнения операций.
Основание позиционной системы счисления – количество Р различных знаков или символов, используемых для изображения цифр в данной системе.
За основание можно принять любое натуральное число – два, три, четыре, шестнадцать и т.д.
Любое число N в позиционной системе счисления с основанием p может быть представлено в виде полинома от основания p:
N = anpn+an-1pn-1+ ... +a1p+a0+a-1p-1+a-2p-2+ ...
здесь ai – коэффициенты (цифры числа), p – основание системы счисления (p > 1).
Принято представлять числа в виде последовательности цифр:
N = anan-1 ... a1a0 . a‑1a‑2 ...
Точка отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях от коэффициентов при отрицательных степенях).
В аппаратной (и логической) основе компьютера используются двухпозиционные элементы, которые могут иметь одно из двух состояний: 0 или 1. Поэтому применяемой в компьютерах системой счисления является двоичная система, и, кроме того, восьмеричная и шестнадцатеричная.
Десятичная система счисления. Пришла в Европу из Индии, где появилась примерно в VI веке н.э. В этой системе 10 цифр: 0 – 9, но информацию несет не только цифра, но и место, на котором она стоит (позиция). В десятичной системе счисления особую роль играют число 10 и его степени: 10, 100, 1000 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, вторая справа – десятков, следующая – сотен и т.д.
Двоичная система счисления. В этой системе две цифры – 0 и 1. Особую роль играет число 2 и его степени: 2, 4, 8 и т.д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая – число двоек, следующая – число четверок и т.д. Двоичная система счисления позволяет представить любое число в виде последовательности нулей и единиц. В двоичном виде можно представлять не только числа, но и другую информацию: тексты, картинки, фильмы и аудиозаписи. Двоичное кодирование легко реализуется технически.
Восьмеричная система счисления. В этой системе счисления 8 цифр: 0 – 7. Цифра 1 младшего разряда, означает единицу. Та же цифра 1 в следующем разряде означает 8, в следующем 64 и т.д. Число 1008 = 6410
Шестнадцатеричная система счисления. В качестве первых 10 из 16 шестнадцатеричных цифр взяты привычные цифры 0 – 9, а в качестве остальных 6 цифр используют первые буквы латинского алфавита: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записанная в самом младшем разряде, означат единицу. Та же цифра 1 в следующем ‑ 16 (десятичное), в следующем ‑ 256 (десятичное) и т.д. Цифра F, указанная в самом младшем разряде, означает 15 (десятичное).
Приведем таблицы кодов различных систем счисления.
Двоичная (Основание 2) |
Восьмеричная (Основание 8) |
Десятичная (Основание 10) |
Шестнадцатеричная (Основание 16) |
||
|
триады |
|
тетрады |
||
0 1 |
0 1 2 3 4 5 6 7 |
000 001 010 011 100 101 110 111 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F |
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 |
Упражнения раздела 1
1.1. Какие целые числа следуют за числами:
-
1) 12;
6) 18;
11) F16;
2) 1012;
7) 78;
12) 1F16;
3) 1112;
8) 378;
13) FF16;
4) 11112;
9) 1778;
14) 9AF916;
5) 1010112;
10) 77778;
15) CDEF16
1.2. Какие целые числа предшествуют числам:
-
1) 102;
6) 108;
11) 1016;
2) 10102;
7) 208;
12)2016;
3) 10002;
8) 1008;
13) 10016;
4) 100002;
9) 1108;
14) A1016;
5) 101002;
10) 10008;
15) 100016