Для нотаток

Ф орми

Етапи

дослідження

Таблична

Графічна

Аналітична

І. Статистичне

спостереження

(► гл.2)

Статистичні таблиці

(► п.4.44 і рис.4.3):

Статистичні

формуляри

(► п.2.53)

х

х

ІІ. Статистичне

узагальнення

(► гл.3)

Статистичні

звіти

( ► п.п.2.40 і 3.19)

Діаграми,

картограми,

картодіаграми

(► п.4.45 і рис.4.4)

х

Емпіричні функції розподілу

(варіаційні ряди):

многокутник

розподілу

(► п.3.28),

гістограма

(► п.4.40),

кумулята

(► п.4.41)

+ теоретичні розподіли теорії ймовірностей (► п.п.4.12-19)

ІІІ. Статистичний аналіз

(► гл.4)

Розрахункові

таблиці-матриці

Система

статистичних

показників (► гл.5),

в т.ч. числові

характеристики закономірності

(► § 4.2)

Вибірковий

метод

(► гл.6)

Довірчий

і нтервал

(► п.6.22)

+ вибіркові розподіли

Теоре-тично

В ибіркові оцінки (► п.п.4.24 і 6.10):

параметрів

ГСС (► п.6.9)

+ функціонали (квантилі, ► п.4.8)

Метод рядів

динаміки

(► гл.7)

Діаграма

ряду

динаміки;

модель

сезонної

хвилі

+ лінія тренду

параметрів моделі тренду

Показники динаміки

(► § 7.2)

КРАЗ

(► гл.9)

Кореляційне поле

+ лінія

регресії

параметрів

моделі регресії

Показники зв’язку

(►§§9.2,

3)

Індексний

метод

(► гл.8)

х

Статистичні

індекси (► § 8.2)

Термін

(поняття)

Визначення

(формула)

1

2

§ 4.1. Зміст статистичного аналізу (► рис.4.1)

1. Статистичний аналіз (СА)

Третій етап процесу статистичного дослідження соціально-економічних явищ (процесів), метою якого є виявлення властивих їм закономірностей (► п.4.5) на основі системи узагальнюючих статистичних показників (► п.4.2) відповідно до методів статистичного аналізу (► п.4.3).

Основа СА – метод узагальнюючих статистичних показників (► п.1.9).

Обраний метод статистичного аналізу (► п.1.9) та відповідні статистичні показники (► п.1.3) мають бути адекватними задачі дослідження (► п.1.11).

2. Система узагальнюючих статистичних показників

Основа статистичного аналізу (► рис.1.2); сукупність статистичних показників, обчислюваних по всіх одиницях досліджуваної сукупності або її окремої частини, таких, що представляють у цієї сукупності шукані закономірності у виді числових характеристик (чисел).

Їх основу складають середні величини (► §5.3) і показники варіації (► §5.4), за допомогою яких обчислюються числові характеристики закономірностей статистичних розподілів (положення (► п.4.9), розсіювання (► п.4.10), асиметрії й ексцесу (► п.4.11) й ін.), показники динаміки (► §7.2), індекси (► §8.2), показники зв’язку (► §§9.2, 3).

3. Метод

(задачі) СА

Комплекс методів, способів, прийомів, операцій, правил, необхідних для досягнення мети аналізу, розв’язання конкретної задачі або певної задачі з конкретного класу задач.

Основним класам задач статистичного аналізу відповідають певні методи статистики (► п.1.9):

1) вивчення структури об’єкта дослідження відбувається за допомогою методів статистичних групувань, узагальнюючих статистичних показників;

2) оцінка просторових, часових змін ознаки, а також впливу факторів, що їх зумовлюють, здійснюється за допомогою методу рядів динаміки (► гл.7) й індексного методу (► гл.8);

3) виявлення й оцінка причинно-наслідкових (факторних) зв’язків між ознаками проводяться за допомогою КРАЗ (► гл.9).

В основу цих методів покладений принцип несуцільного вибіркового статистичного дослідження (► гл.6).

1

2

3. Метод (задачі) СА

(продовження)

Дві головні задачі методу – оцінка параметра (► п.4.24) і перевірка статистичної гіпотези (► п.4.31).

До поширених конкретних задач статистичного аналізу відносять: аналітичне вирівнювання у статистичних рядах (► п.4.29); пошук основної тенденції розвитку (тренду, регресії) (► §§7.3, 9.2), прогнозування (►§§7.4, 9.6) та вивчення сезонних коливань в рядах динаміки (► §7.5); індексація статистичних сукупностей (► §8.1). У комплексі, крім того, застосовуються такі поширені методи: максимальної правдоподібності (► п.6.15) та найменших квадратів (► п.п.7.16, 9.12), апроксимації (► п.7.16) й екстраполяції (► п.7.23) (у вибіркових дослідженнях, рядах динаміки, КРАЗ), збільшення інтервалів (► п.7.28) і плинного середнього (► п.7.29) (в рядах динаміки щодо виявлення тренду) й ін.

До поширених способів відносять наступні: відліку часу від умовного початку (► п.7.16) (у рядах динаміки щодо визначення параметрів моделі тренду), постійного (змінного) середнього (► п.7.31) (в рядах динаміки щодо побудови моделі сезонної хвилі), визначників (щодо визначення параметрів моделей тренду в рядах динаміки (► п.7.16) й регресійних моделей в КРАЗ (► п.9.12)) й ін.

§ 4.2. Статистичний закон і закономірність

4. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини

Співвідношення, що встановлює залежність між імовірністю випадкової величини X і значеннями цієї випадкової величини х, найчастіше: у значеннях її ймовірностей²¹ p(x) = P{X = x}, функції F(x) = P{X < x}²² або щільності f(x) = dF/dx²³ розподілу її ймовірностей (остання характеристика справедлива для неперервних величин).

Закони розподілу випадкових величин застосовують як імовірнісні моделі у статистичному аналізі досліджуваних ознак (статистик), характеризуючи залежність між числовою характеристикою чисельності статистичної ознаки X (статистики) і значеннями цієї ознаки х (статистики) у статистичних рядах (розподілах) (► п.3.20).

1

2

5. Закономірність розподілу

Властивість розподілу, що має прояв у його узагальнюючих числових характеристиках (моментах): квантилях (статистиках, ► п.4.8), характеристиках положення (середніх величинах, ► п.4.9), характеристиках розсіювання (показниках варіації, ► п.4.10), характеристиках асиметрії й ексцесу (► п.4.11).

6. Початковий момент порядку r (M_r(Х) або M_r)

Числова характеристики закономірності розподілу ймовірностей дискретної та неперервної випадкових величин (положення), яка дорівнює відповідно:

і .

У статистичних рядах p(X) набуває змісту частості ω.

7. Центральний момент порядку r ( (Х) або )

Числова характеристики закономірності розподілу ймовірностей дискретної та неперервної випадкових величин (розсіювання), яка дорівнює відповідно:

і .

У статистичних рядах p(X) набуває змісту частості ω.

8. Квантиль (x_q) порядку q

( статистика)

Таке значення x_q випадкової величини (ознаки) Х, для якого існує ймовірність q = Р{X < x_q} = F(x_q) (0 < q < 1).

У розподілах розрізняють такі

квантилі: х_1/2 – медіану;

х_1/4 , х_2/4 , х_3/4 – квартилі; х_1/10, х_2/10, …, х_1/10, х_2/10, х_9/10 – децилі;

х_1/100, х_2/100, …, х_99/100 –

процентилі.

процентилі.

Рис. Квантиль x_q розподілу f(x).

9. Характеристики положення (середні величини)

1) Центр розподілу (математичне сподівання)

M(X) = m_Х.

2) Медіана

M_e = х_1/2.

3) Мода (M_o): найчисельніше (найімовірніше) значення Х (розподіл з однією, двома і більше модами називають відповідно одно-, двох- і багатомодальним).

1

2

10. Характеристики розсіювання

(показники

варіації)

1) Розмах варіації (R) – різниця між найбільшим x_max і найменшим x_min значеннями випадкової величини (ознаки) Х: R = x_max – x_min.

2) Середнє лінійне абсолютне відхилення ( ):

= M(|X – m_Х|).

3) Дисперсія (D(Х), або D, або σ_Х²):

D = M((X – m_Х)²).

4) Середнє квадратичне відхилення (СКВ, σ_Х):

σ_Х = √ D.

5) Інтерквартальна широта х_3/4 – х_1/4 і (10-90)-процентильна широта х_90/100 – х_10/100.

6) Півширота одномодального неперервного розподілу – піврізниця двох значень Х, у котрих f(X) = maxf(X)/2 = f(m_Х)/2.

11. Характеристики асиметрії й ексцесу

1) Коефіцієнт асиметрії: 2) Коефіцієнт ексцесу:

. .

3) Пірсонівська міра асиметрії одномодального розподілу:

, .

Типові теоретичні розподіли

12. Біноміальний розподіл b(k; N, p)

(Бернуллі)

Розподіл (з параметрами N і p) ймовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває невід’ємного цілого значення k з ймовірністю (інакше, ймовірність того, що випадкова подія трапляється k раз у N можливих випробуваннях):

де –

кількість k-елементних

сполучень;

p – імовірність події в

кожному випробуванні

(0 < p < 1).

Рис. Біноміальний розподіл

b(k;N,p) з N = 8 і p = 0,2.

1

2

13. Умови, за яких розподіл Бернуллі зводиться до розподілу Пуассона

Якщо N → ∞, p → 0, а Np має скінченну границю λ > 0, то біноміальний розподіл зводиться до розподілу Пуассона (► п.4.14) (апроксимується останнім) з центром Np і дисперсією Np (закон «малих» чисел).

14. Розподіл

П уассона

p(k; λ)

Розподіл (з фіксованим параметром λ = Np > 0) ймовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває невід’ємного цілого значення k з ймовірніс-

тю:

де p – імовірність події

в кожному випробуванні

(0 < p < 0,1).

Рис. Розподіл Пуассона з λ =0,5

15. Умови, за яких біноміальний розподіл зводиться до нормального

Якщо N → ∞, 0 < (p = const) < 1, а Np → ∞, то біноміальний розподіл є асимптотично нормальним з центром Np і дисперсією Np(1 – p) (теорема Муавра-Лапласа, поодинокий випадок центральної граничної теореми).

16. Нормальний розподіл (Гауса, або N-розподіл)

(f(x))

Розподіл ймовірностей неперервної випадкової величини Х з математичним сподіванням m_Х і дисперсією σ_Х², який має щільність (крива розподілу – гаусіана):

17. Стандартизована нормальна величина (и-розподіл)

Неперервна випадкова величина U = (X – m_Х) / σ_Х, яка має розподіл Гауса (представлена щільністю f(u) або функцією розподілу F(u)) з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією (гаусіаною):

інтеграл Лебега-Стілтьєса.

В області визначення U від 0 до +∞ значення f(U) і F(U) представлені статистичними таблицями (► Д.3, 4).

1

2

17. и-розподіл

(продовження)

Рис. 1. Щільність стандартизованого нормального розподілу f(U).

Рис. 2. Інтегральна функція стандартизованого нормального розподілу F(U).

Ф_U(X)

и

Ф_U(X)

и

18. Інтеграл

ймовірностей

Лапласа

(Ф_U(u))

(► Д.4)

Імовірність того, що неперервна випадкова величина U набуває значень в інтервалі від 0 до u (► п.4.17/рис.):

19. Деякі

властивості

нормального

розподілу

1) f(±∞) → 0, f_max(x) = f(m_Х) = 1/√(2π),

f(x)= f_U(u)/σ_Х;

2) m_Х = M_o = M_e, γ₁= γ₂ = 0;

F(-∞) → 0, F(+∞) → 1,

функція похибок erfz ≡ -erf(-z) = 2F_U(z√2) – 1;

1

2

19. Деякі

властивості

нормального розподілу

(продовження)

Типові значення k і відповідні значення p: k = {1; 2; 3} і p = = {0,683; 0,954; 0,997}.

5) Квантилі, що обираються в якості довірчих границь U (α-значень U) (► п.п.4.17, 38, 39):

Типові α-значення U (α = {0,05; 0,01; 0,001}):

|u|_0,95 = u_0,975 ≈ 1,96, |u|_0,99 = u_0,995 ≈ 2,58, |u|_0,999 = u_0,9995 ≈ 3,29.

6) Характеристики розсіювання:

- середнє абсолютне відхилення

M|X – m_X| = σM|u| = √(2/π)σ ≈ 0,798σ.

- імовірне відхилення, або M_e(|Х – m_Х|):

|u|_1/2σ_Х = -u_1/4σ_Х = u_3/4σ_Х ≈ 0,674σ_Х.

- половина півшироти: √(2ln2)σ ≈ 1,177σ.

- нижній і верхній квартилі:

x_1/4 = m_X + u_1/4σ = m_X – |u|_1/2σ, x_3/4 = m_X + u_3/4 = m_X +‌ |u‌|_1/2σ.

- міра точності: h = 1/(σ√2).

20. t-розподіл

(Стьюдента)

Неперервна випадкова величина Х має t-розподіл з m ступенями свободи (m – натуральне число) в області визначення від -∞ до +∞, якщо щільність її ймовірності можна представити формулою

,

3

2

1

Г(1) = 1, Г(1/2) = √π.

Рис. Щільність t-розподілу

для різних значень

ступенів свободи m:

1) m = 1, 2) m = 2,

3) m = ∞

1

2

20. t-розподіл

(продовження)

Властивості розподілу:

1) f(±∞) → 0, f(-х) = f(+х), maxf(X) = f(0).

2) Числові характеристики:

а) математичне сподівання М(Х) = 0 (m > 1);

б) дисперсія D(X) = m/(m – 2) (m > 2);

в) мода і медіана М_о = М_е = 0;

г) коефіцієнт асиметрії γ₁=0 (m > 3);

ґ) коефіцієнт ексцесу γ₂ = 3(m – 2)/(m – 4) (m > 4);

д) момент r-го порядку(r ≤ m – 1, m > 2)(відносно Х = 0).

3) Типова інтерпретація. Якщо m випадкових величин X₀, X₁, …, X_m взаємно незалежні та нормально розподілені з нульовим математичним сподіванням і дисперсіями σ_Х², то випадкова величина

має t-розподіл з m ступенями свободи. T від σ_Х² не залежить.

4) Квантилі t_m;р = -t_m;1-р за рахунок симетричності розподілу.

До того ж, ‌‌‌|t|_m;1-α = t_m;1-α/2, що відповідає рівності P{|T| > |t|_m;1-α} = = α. Ці квантилі зведені у статистичні таблиці (► Д.6).

5) Наближення. Якщо m → ∞, тоді t-розподіл є асимптотично нормальним з центром 0 і дисперсією 1, так, що t_m;р ≈ u_р, |t|_m;1-α = t _m;1-α/2 ≈ |u|_1-α = u_1-α/2 для N > 30 (► п.п.4.33 і 6.8).

21. χ²-розподіл

( П

1

Неперервна випадкова величина Х має χ²-розподіл з m ступенями свободи (m – натуральне число) в області визначення від -∞ до +∞, якщо щільність її ймовірності можна

представити формулою

1

Рис. Щільність χ²-розподілу для

різних значень ступенів свобо-

ди m: 1)m = 1; 2) m = 2; 3) m = 6

1

2

21. χ²-розподіл

(продовження)

Властивості розподілу:

1) f(+∞) → 0.

2) Числові характеристики:

а) математичне сподівання М(Х) = m;

б) дисперсія D(X) = 2m;

в) мода М_о = m – 2 (m ≥ 2);

г) коефіцієнт асиметрії γ₁ = 2√(2/m);

ґ) коефіцієнт ексцесу γ₂ = 12/m;

д) момент r-го порядку (відносно Х = 0)

.

3) Типова інтерпретація. Якщо m взаємно незалежних стандартизованих випадкових величин U_j = (X_j – M(X_j))/σ_Xj мають нормальні розподіли, то сума їх квадратів

має χ²-розподіл з m ступенями свободи.

4) Квантилі χ²_m;p або ‌‌‌χ²_m;1-α зведені у статистичні таблиці (► Д.5).

5) Наближення. Якщо m → ∞, тоді

- Х розподілена асимптотично нормально з центром m і дисперсією 2m;

- Х/m розподілена асимптотично нормально з центром 1 і дисперсією 2/m;

- √(2X) розподілена асимптотично нормально з центром √(2m – 1) і дисперсією 1, так, що

χ²_m;p ≈ 1/2(√(2m – 1) + U_p)²

для m > 30 (► п.п.4.33 і 6.8). U_p – квантилі стандартизованого нормального розподілу. Ця апроксимація непридатна при p наближених до 0 або до 1. Кращою щодо цього є апроксимація

1

2

22. F-розподіл

( Фішера)

Неперервна випадкова величина Х має F-розподіл з k₁ і k₂ ступенями свободи (k₁ і k₂ – натуральні числа) в області визначення від -∞ до +∞, якщо щільність її ймовірностей можна представити формулою

де В – бета-функція²⁵.

Рис. Щільність F-розподілу

для різних значень

с ступенів свободи k₁ і k₂:

1) k₁ = 1 і k₂ = 4;

2) k₁ = 4 і k₂ = 2;

3) k₁ = 10 і k₂ = 50

Властивості розподілу:

1) f(+∞) → 0.

2) Числові характеристики:

а) математичне сподівання М(Х) = k₂/(k₂ – 2) (k₂ > 2);

б) дисперсія D(X) = 2k₂²(k₁ + k₂ – 2)/(k₁(k₂ – 2)²(k₂ – 4)) (k₂ > 4);

в) мода М_о= k₂(k₁ – 2)/ k₁(k₂ + 2) (k₁ > 2);

г) момент r-го порядку (відносно Х = 0)

3) Типова інтерпретація. Якщо k₁ + k₂ взаємно незалежних випадкових величин Х_i (i = 1, 2, …, k₁) і X_j (j = 1, 2, …, k₂) мають нормальні розподіли з центрами 0 і дисперсіями σ_Х², то відношення двох випадкових величин

1

2

22. F-розподіл

(продовження)

що мають χ²-розподіли з k₁ і k₂ ступенями свободи відповідно, підпорядковано F-розподілу з k₁ і k₂ ступенями свободи. F від σ_Х² не залежить.

має бета-розподіл.

Змінна має щільність з розподілом Фішера:

;

4) Квантилі F_k1,k2;1-α = 1/F_k2,k1;α зведені у статистичні таблиці (► Д.7).

5) Наближення. Якщо k₁ → ∞, k₂ → ∞, тоді величина Z розподілена асимптотично нормально з центром (k₁ – – k₂)/(2k₁k₂) і дисперсією (k₁ + k₂)/(2k₁k₂). Ця апроксимація є придатною для k₁ > 30 і k₂ > 30 (► п.п.4.33 і 6.8).

23. Центральна гранична теорема (ЦГТ) (умови

нормалізації розподілів)

Якщо випадкова величина являє собою суму N взаємно незалежних випадкових величин Х_і (i = 1, …, N) із скінченними математичними сподіваннями m_Хi і дисперсіями σ_Хi², то при необмеженому збільшенні їх кількості (N → ∞) вона має асимптотично нормальний розподіл з центром Σm_Хi і дисперсією Σσ_Хi², до того ж, для будь-якого додатного числа ε існує границя (умови Ліндеберга):

Якщо Х_і мають один і той же самий розподіл ймовірностей із скінченим математичним сподіванням m_Х і загальною дисперсією σ_Х², то випадкова величина = (Х₁ + Х₂ + … + Х_N)/N має асимптотично нормальний розподіл ймовірностей з центром m_Х і дисперсією σ_Х²/N (теорема Ліндеберга-Леві).

1

2

§ 4.3. Методологія статистичного аналізу (► рис.4.1)

24. Параметр і його оцінка

Таке уточнення параметра η розподілу статистичної ознаки Х в генеральній сукупності (► п.6.2), ідеалізованого певною імовірнісною моделлю F(Х) з тим же самим параметром, по даних (X₁, X₂, …, X_n) вибіркового дослідження (вибірки (► п.6.4)), що дає певну статистику (вибіркову оцінку (► п.6.10)) Y(X₁, X₂, …, X_n), яка надійно (► п.4.25) представляє цей параметр своїм значенням y_j = y(x₁, x₂, …, x_n) (j = 1, 2, …), отриманим по реалізації вибіркових даних (x₁, x₂, …, x_n).

Поширені оцінки – вибіркові частка та середнє арифметичне. Оцінка може бути точковою й інтервальною (► п.4.39).

25. Властивості надійної оцінки

Шукана оцінка є надійною, якщо вона є слушною (► п.4.26), незміщеною (► п.4.27) й ефективною (► п.4.28).

Вона може бути достатньо надійною, якщо задовольняє хоча б однієї з цих властивостей.

26. Слушна оцінка

Така оцінка Y параметра η, яка при n → ∞ наближається по ймовірності до значення параметра η:

Різниця Δ_j = y_j – η є похибкою оцінювання і має випадковий характер.

27. Незміщена оцінка

Така оцінка Y параметра η, математичне сподівання якої M(Y) дорівнює значенню параметра η:

Величина |M(Y) – η| є зміщенням оцінки.

28. Ефективна оцінка

Така оцінка Y параметра η (обов’язково незміщена та слушна), дисперсія якої існує й є найменшою для асимптотично нормальних (► п.6.11/2) розподілів f(Y) із середнім η і дисперсією D(Y) = λ/n:

Відношення називають ефективністю оцінки Y.

1

2

29. Аналітичне вирівнювання²⁶ статистичного розподілу

Процедура розповсюдження властивостей певного теоретичного розподілу ймовірностей випадкової величини на числові характеристики статистичного розподілу частоти (частості, щільності) досліджуваної ознаки з метою їх наближеного взаємного представлення (з певною ймовірністю або на певному рівні значущості (► п.4.35)).

Типові інтерпретації: 1) представлення статистичного (емпіричного) ряду теоретичною функцією (гаусіаною, розподілом Пуассона й ін.) з параметрами, що дорівнюють аналогічним емпіричним числовим характеристикам закономірності (► п.4.5); 2) представлення основної тенденції розвитку в ряду динаміки (► п.7.15) та 3) факторного зв’язку між ознаками (► п.9.4) адекватною математичною функцією (► п.п.7.17 і 9.13) (відповідно трендом (► п.7.15) і лінією регресії (► п.9.10)) з використанням методу найменших квадратів (► п.п.7.16 і 9.12).

30. Статистична гіпотеза

Припущення про певний можливий закон розподілу F(X) або f(X) статистичної ознаки Х у вибірковій сукупності, або про значущість вибіркової оцінки Y.

Гіпотеза може бути простою і складною (► п.4.34).

31. Перевірка статистичної гіпотези

Для перевірки статистичних гіпотез, які встановлюють деякі властивості теоретичного розподілу (η), оцінюється правдоподібність досліджуваної вибірки за умови, що для обчислення функції правдоподібності (► п.6.5) застосовується передбачувана щільність розподілу f(X). Перевірка виконується за певними статистичними критеріями, або критеріями статистичних гіпотез (► п.4.32).

32. Критерій статистичної гіпотези

Нехай задана деяка фіксована вибірка об’єму n (► п.6.4); критерій статистичної гіпотези Н – це правило, що дозволяє спростувати або прийняти гіпотезу Н за умов вибірки {х₁, х₂, …, х_n}. Кожен критерій визначає критичну множину (область) S «точок» (Х₁, Х₂, …, Х_n): гіпотеза відкидається як хибна (спростовується), якщо вибірка {х₁, х₂, …, х_n} належить критичній множині, або потрапляє в область малої правдоподібності, тобто вибіркова статистика Y(Х₁, Х₂, …, Х_n) малоймовірна за обраною гіпотетичною функцією правдоподібності (► п.6.11/3), й вважається істинною у протилежному випадку.

1

2

3 2. Критерій статистичної гіпотези (продовження)

Таке прийняття або відкидання гіпотези не дає логічного її доказування або спростовування. Тут можливі чотири ситуації:

а) гіпотеза Н є вірною та приймається згідно критерію;

б) гіпотеза Н є невірною (хибною) та відкидається згідно критерію;

в) гіпотеза Н є вірною, але відкидається згідно критерію (похибка першого роду (► п.4.35));

г) гіпотеза Н є невірною (хибною), але прийма-

ється згідно критерію (похибка другого роду).

Для будь-якої множини фактичних

значень параметрів η₁, η₂, … ймовірність

відкинути гіпотезу по даній критичній

області S дорівнює

Якщо з гіпотезою Н конкурує лише одна альтернативна проста гіпотеза Н₁ ≡ {η₁ = η₁₁, η₂ = η₂₁,…}, то ймовірність π_S(η₁₁, η₂₁,…) відкинути гіпотезу Н, коли є вірною гіпотеза Н₁, називають потужністю критерію, що визначений на S, по відношенню до гіпотези Н₁. Залежність імовірності (1 – β) правильного відкидання гіпотези Н від імовірності α хибного її відкидання називають оперативною характеристикою критерію (рис.).

33. Кількість ступенів

свободи

критерію

Кількість «вільних» елементів даних, на які не накладені обмеження при обчисленні статистики вибірки або критерію перевірки.

Інакше, це – кількість одиниць статистичної сукупності, які можуть набувати довільних значень, не змінюючи середнього значення ознаки.

Наприклад, сукупність чотирьох (N = 4) вибіркових чисел 16, 21, 25, 30 дає середнє арифметичне число 23; їх відхилення від середнього становлять -7, -2, 2, 7 відповідно; сума відхилень дорівнює 0. Якщо необхідно зберегти значення середнього для інших чотирьох вибіркових чисел, лише три перших з них можуть набувати вільних значень, наприклад: 15, 22, 24, – четверте ж має бути таким, щоб забезпечити нульову суму чотирьох їх відхилень від середнього (-8 + (-1) + 1 + Δ₄ = 0, Δ₄ = 0 – (-8) – (-1) – 1 = 8, х₄ = 23 + 8 = 31). Отже, значення четвертого елемента сукупності, х₄ = 31, залежить від значень перших трьох її елементів, а тому кількість ступенів свободи m цього критерію (оцінки схожості чи відмінності величин середніх двох вибірок) з одним оцінюваним параметром, середнім арифметичним, (кількість параметрів s = 1) становить m = N – s = 4 – 1 = 3.

1

2

34. Проста та складна статистичні гіпотези

Статистична гіпотеза, яка однозначно визначає розподіл ймовірностей n-мірної величини (Х₁, Х₂, …, Х_n) з параметрами η₁=η₁₀, η₂=η₂₀, …, що є координатами «точки» в просторі параметрів, вважається простою. У протилежному випадку (неоднозначна визначеність розподілу) гіпотеза є складною і обмежує «точки» η₁, η₂, … деякою областю в просторі параметрів.

35. Рівень

значущості

критерію

(

Критична область

(спростування Н₀)

Бажано вибрати таку критичну область, щоб імовірність π_S(η₁, η₂, …) була малою, якщо гіпотеза, яка перевіряється, є вірною, й значною в протилежному випадку. Нехай критична область S застосовується для перевірки простої гіпотези Н₀ ≡ {η₁ = η₁₀, η₂ = η₂₀, …} («нульова гіпотеза»), і нехай вона є вірною, тоді ймовірність даремно відкинути гіпотезу Н₀ (похибка першого роду) є π_S(η₁₀, η₂₀, …) = α; α називають рівнем значущості даного

Критична область

(спростування Н₀)

область S перевіряє

просту гіпотезу на

рівні значущості α.

S = 1 – β

S = α/2

Рис. Перевірка гіпотези Н₀

при н

Y_{1 + α/2}

η

36. Правило Неймана-Пірсона

відбору

критеріїв для простих гіпотез

1. Найбільш потужний критерій для простої гіпотези Н₀ ≡ {η₁ = η₁₀, η₂ = η₂₀, …} відносно простої альтернативної гіпотези Н₁ ≡ {η₁ = η₁₁, η₂ = η₂₁, …} визначається такою критичною областю S, яка дає найбільше значення ймовірності π_S(η₁₁, η₂₁, …).

2. Рівномірно найбільш потужний критерій є найбільш потужним критерієм відносно всіх доступних альтернативних гіпотез; він не завжди існує.

3. Критерій є незміщеним, якщо π_S(η₁₁, η₂₁, …) ≥ α для кожної простої альтернативної гіпотези Н₁; в протилежному випадку критерій є зміщеним.

Найбільш потужний незміщений критерій відносно даної альтернативної гіпотези Н₁ і рівномірно найбільш потужний незміщений критерій відокремлюються з незміщених критеріїв.

1

2

36. Правило Неймана-Пірсона

(продовження)

Критична область S для найбільш потужного критерію будується так, щоб для всіх вибіркових точок (Х₁, Х₂, …, Х_n) відношення правдоподібності

f(Х₁, Х₂, …, Х_n; η₁₀, η₂₀, …)/f(X₁, X₂, …; η₁₁, η₂₁, …) або

р(Х₁, Х₂, …, Х_n; η₁₀, η₂₀, …)/р(X₁, X₂, …; η₁₁, η₂₁, …)

було меншим за деяке постійне С; різні значення С даватиме «кращі» критичні області при різних рівнях значущості α. Рівномірно найбільш потужний критерій є доречним щодо перевірки гіпотези Н₀ по відношенню до складної альтернативної гіпотези.

Практично у виборі критерію переважаючою може стати легкість обчислень. Звичайно потужність критерію можна підвищити через збільшення об’єму вибірки n.

37. Критерій

значущості

Нехай властивість ГСС, що перевіряється, зводиться до множини значень параметрів η₁ = η₁₀, η₂ = η₂₀, …, які порівнюються з вибірковими оцінками цих параметрів. В якості основи критерію намагаються побудувати таку статистику

Y = Y(Х₁, Х₂, …, Х_n; η₁₀, η₂₀, …) ≡

≡g(Y₁, Y₂, …; η₁₀, η₂₀, …),

значення якої вимірюють відхилення або відношення порівнюваних параметрів генеральної сукупності (► п.6.9) й їх вибіркових оцінок (► п.6.10).

При цьому проста гіпотеза Н₀ ≡ {η₁ = η₁₀, η₂ = η₂₀, …} відкидається із даним рівнем значущості α («відхилення» є значущим), якщо вибіркова оцінка Y потрапляє поза можливий інтервал {Yр₁ ≤ Y ≤ Yр₂} = р₂ – р₁ = = 1 – α. Відповідна оцінка параметра є незначущою. У протилежному випадку оцінка є значущою. Критерії, визначені в такий спосіб, називають критеріями значущості.

Остання формула визначає Y_р1= Y_р1(η₁₀, η₂₀, …) і Y_р2= Y_р2(η₁₀, η₂₀, …) як квантилі вибіркового розподілу статистики Y(Х₁, Х₂, …, Х_n; η₁₀, η₂₀, …). Часто вдається вибрати статистику Y так, що її квантилі Y_р були б незалежними від η₁₀, η₂₀, … .

Y_р1 і Y_р2 називають границями довірчого інтервалу [Y_р1 ; Y_р2] (► п.4.39) на заданому рівні значущості α.

Поширені критерії: t (Стьюдента) (► п.4.20), χ² (Пірсона) (► п.4.21), F (Фішера) (► п.4.22).

1

2

38. Довірча

область рівня α (S_α)

Нехай побудовано сімейство критичних областей S_α(η₁, η₂, …) для перевірки множини простих гіпотез (допустимих комбінацій параметрів η₁, η₂, …) при певному заданому рівні значущості α²⁷. Тоді для будь-якої фіксованої вибірки (Х₁ = х₁, …, Х_n = x_n) множина D_α(x₁, x₂, …, x_n) комбінацій параметрів (η₁, η₂, …) (точок у просторі параметрів), які узгоджуються з даною вибіркою, є довірчою областю рівня α; (1 – α) називають довірчою ймовірністю (ε). Довірча область містить усі допустимі комбінації параметрів, прийняття яких на основі даної вибірки має ймовірність Р{(x₁, x₂, …, x_n) S_α(η₁, η₂, …)} ≥ ≥ (1 – α).

39. Довірчий інтервал (І_α) (геометрична інтерпретація)

(► п.6.22)

Y

знайти довірчу область, що

пов’язує значення одного з

γ₂

y

Y(x₁, x₂, …, x_n) підхожої

статистики Y (рис. 1).

Y_р1(η₁) і Y_р2 (η₁) – нижня і

верхня границі допуску в

η₁ = η₁₁

η₁

Рис. Визначення довірчих інтервалів

Перетин граничних кривих з кожною прямою Y = y визначає нижню і верхню границі γ₁ = γ₁(y), γ₂ = γ₂(y) довірчого інтервалу І_α ≡ [γ₁; γ₂] рівня α²⁸. Довірчий інтервал містить такі значення параметра η₁, прийняття яких на основі вибіркового значення Y = y має ймовірність (довірчу) Р{Yр₁(η₁) ≤ y ≤ Yр₂(η₁)} ≥ (1 – α) (► п.6.18).

40. Критерій згоди

Статистичний критерій, який контролює узгодженість гіпотетичних ймовірностей p_j = P{E_j} випадкових подій E₁, E₂, …, E_r з їх відносними частотами ω_j = W{E_j} = f_j/n у вибірці з n незалежних спостережень. У багатьох застосуваннях кожна подія E_j полягає в тому, що деяка випадкова величина Х потрапляє в певний j-й класовий

1

2

40. Критерій згоди (продовження)

інтервал, так що цей критерій дозволяє порівнювати гіпотетичні (теоретичні) розподіли величини Х з її емпіричним розподілом за допомогою відповідної статистики.

Поширеними є критерії згоди χ² (► п.4.41), А.М.Колмогорова (► п.4.42), Мізеса²⁹.

41. Критерій згоди χ²

(Пірсона)

Узгодженість за цим критерієм вимірюється за допомогою статистики

де p_j – імовірність того, що випадкова величина Х набуває значень в j-му класовому інтервалі (j = 1, …, n); f_j і np_j – фактична і теоретична абсолютні частоти інтервальної ознаки.

Розподіл статистики Y при n → ∞ наближається до розподілу χ² (► п.4.21) з m = r – 1 ступенями свободи.

Правила застосування критерію.

1) Якщо всі np_j > (5…10)³⁰, то критерій χ² спростовує гіпотетичні ймовірності з рівнем значущості α при Y > χ²_m;1-α. Якщо m > 30, то замість χ²-розподілу можна застосовувати нормальний розподіл величини √(2χ²) з центром √(2m – 1) і дисперсією 1.

2) Якщо гіпотетичні ймовірності p_j залежать від s невідомих параметрів η₁, η₂, …, η_s, то спочатку знаходять спільні найбільш правдоподібні оцінки цих параметрів по даній вибірці й підставляють отримані значення p_j = p_j(η₁, η₂, …, η_s) у формулу статистики Y. За достатньо загальних умов³¹ статистика Y збігається по ймовірності з χ² з m = r – s – 1 ступенями свободи й критерій χ² є застосовуваним з m = r – s – 1.

1

2

42. Критерій згоди А.М.Колмо-горова

Узгодженість за цим критерієм вимірюється за допомогою статистики

де F_n(Х) – емпірична ступінчаста функція розподілу³², побудована по даних вибірки (х₁, х₂, …, х_n) об’єму n після її впорядкування зі збільшенням Х, так, що

F(Х) – теоретична неперервна функція розподілу генеральної сукупності, узгодженість з якою перевіряється. Розподіл статистики √n ∙ D_n при n → ∞ наближається до розподілу Колмогорова³³:

Правила застосування критерію.

1) Рівень значущості α вибирається з умови Р{√n ∙ D_n > x} = = α = 1 – K(x), у припущенні що неможливо отримати цю рівність, коли існує відповідність між функціями F(X) i F_n(X).

2) Гіпотеза Н₀ спростовується, якщо розрахункове значення статистики D_n перевищує критичне значення двостороннього³⁴ критерію Колмогорова на рівні значущості α: d_n = max(D_n⁺, D_n^-) > K_{n; α}, – за умов, що

1

2

43. Статистичний прогноз

Оцінка значення однієї випадкової величини (ознаки) у виді функції значень інших випадкових величин (ознак).

Поширеними є такі задачі прогнозування:

1) екстраполяція в рядах динаміки (► п.7.23);

2) визначення середнього (► п.9.44) й індивідуального (► п.9.45) значень результативної ознаки у її зв’язку з іншими, факторними, ознаками за очікуваних значень останніх.

Прогноз виконується з використанням функціональних моделей тренду (► п.7.15) та регресії (► п.9.10) із значущими оцінками параметрів (► п.п.4.36, 7.16, 9.37) на певному рівні значущості t-критерію (► п.4.20).

§ 4.4. Форми відображення статистичної інформації (► рис.4.2).

Статистичні таблиці (► рис.4.3) та графіки (► рис.4.4)

44. Статистична таблиця (► рис.4.3)

Форма подання статистичних даних, як правило, результатів статистичного зведення; це – сукупність горизонтальних і вертикальних ліній, що перетинаються й утворюють по горизонталі рядки, а по вертикалі стовпчики (графи); перетин останніх – це клітинки, куди записують статистичні дані.

Основні елементи таблиці – це підмет і присудок.

Підмет статистичної таблиці – це групи та підгрупи досліджуваного явища (ознаки), що підлягають певній характеристиці за допомогою статистичних показників.

Присудок статистичної таблиці – це показники, за допомогою яких відображають числові значення та характеристики досліджуваного явища (ознаки).

Таблиці поділяють на (види статистичних таблиць): прості (облікові, територіальні, хронологічні) (► поз.3.1-5, з.№ №22, 23, 27, 29-31), групові (► з.№4), комбіновані (► з.№7).

45. Статистичний графік

(► рис.4.4)

Форма подання статистичних даних, як правило, результатів статистичного зведення; це – малюнок, що зображає статистичні дані за допомогою умовних геометричних фігур (ліній, точок, інших знаків).

Елементами графіків є: поле графіка, графічний образ, просторові та масштабні орієнтири, експлікація графіка.

Графіки поділяють на (види статистичних графіків):

а) за способом побудови: діаграми, картограми, картодіаграми;

б) за формою графічних образів: точкові (► з.№32), лінійні (► п.3.41), площинні (► з.№№4-7), фігурні (► з.№31);

в) за характером задач: ряд розподілу (► з.№№3-7), структура статистичної сукупності (► з.№14), ряд динаміки (► з.№№22-28), показники зв’язку (► з.№32), показники виконаного завдання (► з.№10).

1

2

45. Статистичний графік (продовження)

Діаграми бувають (види): лінійними (► п.3.41), стовпчиковими (► з.№10), стрічковими (► з.№№2,29), круговими (► з.№14), радіальними (► з.№27), фігурними (► з.№31), знаками Варзара (► з.№29).