Рыночная модель с запасами

В этой модели предполагаются запасы товара как разность между предложением и спросом . Примем следующие допущения.

1. Спрос и предложение представляют собой линейные функции от текущей цены :

. (14)

2. Цена, устанавливаемая на рынке, зависит от объема запаса продукции на предшествующий период, причем разница в ценах во времени пропорциональна относительной величине запаса с некоторым коэффициентом (при наличиИ запаса цена на товар в последующий период падает):

. (15)

Подстановка соотношений (14) в (15) приводит к линейному разностному уравнению первого порядка с постоянными коэффициентами относительно цены :

или

. (16)

Пусть , тогда , следовательно . Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (16) удобно искать в виде постоянной величины:

.

Величина является равновесной ценой, или стационарным решением уравнения (16) Общее решение уравнения (10) определяется формулой

.

Пусть - значение цены в начальный момент времени , тогда решение этого уравнения имеет вид

или . (17)

Сходимость во времени к значению существенно зависит от величины и знака основания степени в (17) . Рассмотрим все возможные случаи сочетания этих параметров задачи:

1) , откуда - монотонная сходимость к равновесному значению ;

2) , откуда , т.е. ;

3) , откуда - сходимость цены к равновесному значению с колебаниями около него;

4) , т.е. - две точки равновесия: и , на каждом шаге по времени цена «перескакивает» с одного значения на другое;

5) , т.е. - цена расходится с увеличением амплитуды колебаний.

а

б

в

г

д

0 1 2 3 4

Рис.2

Модель делового цикла Самуэльсона – Хикса

Рассмотрим в качестве примера, иллюстрирующего применение линейных разностных уравнений, модель делового цикла Самуэльсона – Хикса (динамический вариант модели Кейнса). В этой модели используется принцип акселерации, т.е. предположение, что масштабы инвестирования прямо пропорциональны приросту национального дохода. Данное предположение характеризуется следующим уравнением

, (18)

где коэффициент - фактор акселерации, - величина инвестиций в период , - величины национального дохода соответственно в -м и -м периодах. Предполагается также, что потребление на данном этапе зависит от величины национального дохода на предыдущем этапе, т.е., что

. (19)

Условие равенства спроса и предложения имеет вид:

. (20)

Подставляя в (20) выражение для из (18) и выражение для из (19), находим:

. (21)

Уравнение (21) известно как уравнение Хикса. Оно представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (если предположить, что на протяжении рассматриваемых периодов величины и постоянны).

Замечание. Можно легко найти частное решение уравнения (21), если предположить, что

, (22)

т.е., использовав в качестве частного решения равновесное решение . Из (21) в силу (22) имеем

, (23)

откуда . (24)

Заметим, что выражение в формуле (24) носит название мультипликатора Кейнса и является одномерным аналогом матрицы полных затрат.