14

Понятие о разностных уравнениях.

Уравнение вида: , (1)

где - фиксированное число, а - произвольное натуральное число, - члены некоторой числовой последовательности, называется разностным уравнением -го порядка.

Решить разностное уравнение означает найти все последовательности , удовлетворяющие уравнению (1). Разностные уравнения часто используются в моделях экономической динамики с дискретным временем, а также для приближенного решения дифференциальных уравнений.

Разностное уравнение вида , (2)

где - некоторые функции от , называется линейным разностным уравнением -го порядка.

В случае, когда коэффициенты являются константами, методы решения данного класса уравнений во многом аналогичны решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим это для разностных уравнений второго порядка:

. (3)

Так же как и для линейных дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (3) определяется по формуле:

, (4)

где - некоторое частное решение уравнения (3), - общее решение соответствующего однородного уравнения (случай ). Для нахождения общего решения однородного уравнения необходимо сначала решить характеристическое уравнение

. (5)

После этого могут возникнуть варианты:

1) Оба корня и действительны и различны. Тогда общее решение находится по формуле:

, (6)

где и - произвольные константы.

2) Оба корня действительны и равны , тогда

. (7)

3) В случае комплексно-сопряженных корней

. (8)

Модель рынка с запаздыванием сбыта

В реальности часто складывается такая рыночная ситуация, что цикл производства продукции отстает от цикла ее реализации. Это характерно, например, для сельского хозяйства. И в промышленном производстве предложение формируется на основе цены в предшествующий период. Таким образом, функция предложения сдвинута по времени относительно цены , т.е. будем полагать, что , в то время как функция спроса одномоментно отвечает цене: . Для простоты рассмотрим линейные зависимости спроса и предложения от цены:

. (9)

Условие равновесия предполагает равенство предлагаемого и востребованного объемов товара: , откуда с учетом (9) имеем

или .

Поделив обе части этого равенства на и переходя для удобства на шаг вперед по времени, получаем линейное неоднородное разностное уравнение первого порядка относительно цены с постоянными коэффициентами:

. (10)

Пусть тогда .

Характеристическое уравнение имеет единственный корень, равный . Частное же решение уравнения (10) удобно искать в виде постоянной величины:

; .

После подстановки в это уравнение оно легко определяется:

. (11)

Величина является равновесной ценой. Общее решение уравнения (10) определяется формулой

, (12)

где - произвольная величина.

Пусть в начальный момент времени известна цена (задача Коши), тогда подстановкой в равенство (12) находим

или , так что в окончательном виде получаем

или . (13)

Проанализируем полученное решение. В зависимости от входных параметров задачи и формул (9) динамика цены во времени может быть разной. Здесь возможны три варианта:

1) - текущая цена расходится с равновесной ценой с увеличением размаха колебаний вокруг нее;

2) - текущая цена стремится к равновесной цене с колебаниями около нее;

3) - две точки равновесия: в зависимости от четности имеет место колебание от одной точки к другой.

а

б

в

0 1 2 3 4

Рис. 1