5. Основные выводы.
Итак, применение фундаментального закона сохранения массы позволило получить разнообразные модели рассматриваемых процессов. Различие между моделями определяется типов полученных уравнений (гиперболический, параболический, эллиптический), их пространственно-временными характеристиками (стационарное, нестационарное, одномерное, многомерное), наличием или отсутствием нелинейностей, а также постановкой краевых условий. Таким образом, в зависимости от конкретных свойств объекта и дополнительных предположений, основываясь на одном и том же фундаментальном законе, можно получить совершенно различные математические модели. С другой стороны, одни и те же математические модели могут, в силу своей универсальности, отвечать объектам совершенно разной природы.
Лекция №2.
Сохранение энергии
Закон сохранения энергии вместе с некоторыми дополнительными предположениями применим для построения моделей распространения тепла в сплошной среде. Сформулируем типичные краевые задачи для уравнений теплопередачи. Обсудим некоторые физические и математические свойства полученных моделей.
1. Предварительные сведения о процессах теплопередачи.
Тепловая
энергия
или тепло
– это энергия хаотичного движения
атомов или молекул вещества. Обмен
теплом между различными участками
называется теплопередачей,
а сами материалы, обладающие хорошо
выраженным свойством теплопередачи, -
теплопроводными.
К ним относятся, например, металлы, в
которых тепловая энергия переносится
в основном свободными электронами,
некоторыми газами и т.д. Процессы передачи
тепла рассматриваются в условиях так
называемого локального
термодинамического равновесия
(ЛТР). Понятие ЛТР для газов вводится
при
,
т.е. когда длина свободного пробега
частиц вещества много меньше характерных
размеров рассматриваемого объекта
(сплошная
среда).
ЛТР подразумевает также, что процессы
изучаются при временах, больше чем
(время между столкновениями частиц), и
на размерах, больших, чем
.
Тогда в областях вещества, размеры
которых превосходят величину
(но много меньше величины
),
устанавливается равновесие и для них
можно ввести средние величины плотности,
скорости теплового движения частиц и
т.д.
Эти
локальные величины (разные в разных
точках среды) при сформулированных
предположениях находятся из равновесного
максвелловского распределения частиц.
К ним относится температура
,
определяющая среднюю кинетическую
энергию частиц:
,
где
–
масса частицы,
- средняя скорость хаотичного движения,
- постоянная Больцмана (в случае так
называемого больцмановского газа).
Связанная
с хаотичным движением частиц энергии
вещества (внутренняя энергия) определяется
через температуру с помощью величины
удельной теплоемкости
,
а именно
,
,
где
–
плотность вещества (
-
число частиц в единице объема),
-
внутренняя
энергия единицы массы.
Другими словами, теплоемкость – это
энергия, которую необходимо сообщить
единице массы вещества, чтобы увеличить
температуру на один градус.
Наиболее
простое выражение для теплоемкости
получается в случае идеального газа
(газа, частицы которого взаимодействуют
лишь при непосредственном взаимодействии
столкновения и, подобно биллиардным
шарам, без потери суммарной кинетической
энергии). Если в некотором объеме
идеального газа содержится
частиц,
то их полная внутренняя энергия есть
,
где
-
суммарная масса частиц, а удельная
внутренняя энергия, или энергия на
единицу массы, дается формулой
,
Т.е.
теплоемкость идеального газа равна
и
не зависит от величин
.
В общем случае связь между внутренней
энергией и температурой более сложная.
Например, помимо кинетической энергии
движущихся частиц, внутренняя энергия
содержит составляющую, связанную с
потенциальной энергией их взаимодействия,
зависящей от среднего расстояния
между
ними. В свою очередь
,
где
-
число частиц в единице объема, т.е.
зависит от плотности
.
Поэтому в теории теплопередачи величины
(или, что то же самое,
)
являются, вообще говоря, функциями от
и
.
Их конкретный вид определяется свойствами
рассматриваемой среды.