2. Формулы объемов тел вращения.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Тогда объем тела

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ox и криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , объем тела вращения вычисляется по формуле

(3)

Если криволинейная трапеция вращает вокруг оси Oy, то объем тела вращения

(4)

Пример: Вычислить объем шара радиуса R.

Решение:

Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ox, поэтому его объем V можно найти по формуле (3). Используя симметрию данного шара относительно оси Oy, находим

Решение типовых задач

Задание1. Найти первообразные для функций .

Решение:

1. Функция Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

2. Для функции на интервале (0; +) первообразной является функция , так как для всех x из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной С есть первообразная для функции на том же интервале (0; +).

3. Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков и функция F является первообразной для f.

Задание 2. Вычислить интегралы:

Решение:

Задание 3.

1) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратном изотермическом расширении от

Решение: При обратимом расширении одного моля идеального газа давление Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA=pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V₁ до конечного объема V₂

2) Скорость поступательно движущегося тела (м/с). Определить путь, пройденный телом за первые 10с после начала движения.

Решение: Так как то откуда

В нашем случае t₁=0, t₂=10, v=8t-1.

Искомый путь

Упражнения

Задание 1. Вычислить интегралы

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31. 

32. 

33. 

34. 

35. 

36. 

37. 

38. 

39. 

40. 

41. 

42. 

43. 

44. 

45. 

46. 

47. 

48. 

49. 

50. 

51. 

52. 

53. 

54. 

55. 

56. 

57. 

58. 

59. 

60. 

61. 

62. 

63. 

64. 

65. 

66. 

67. 

68. 

Задание 2. Решить задачи

49. 

50. 

49. Найти функцию, производная от которой равна и при принимает значение, равное 4.

50. Найти функцию, производная которой равна а при х=1 значение функции равно 2е.

51. Составить уравнение пути если скорость тела задана формулой (м/c) и за t=3 с тело прошло путь s=60 м.

52. Составить уравнение движения точки, если скорость точки (м/c), а при t=0 точка покоилась.

53. Составить уравнение движения точки, если скорость точки (м/c), а при t=1 с s=3e м.

49. Материальная точка движется прямолинейно. Ускорение точки изменяется по закону , где . Какой скорости достигнет материальная точка через после начала движения из состояния покоя? Какой путь пройдет она за это время?

50. Задан закон изменения углового ускорения . Какой угловой скорости достигнет материальная точка через после начала движения из состояния покоя? Чему равно ее угловое перемещение за это время?

51. Тело движется прямолинейно с ускорением . Найти скорость тела в момент и закон движения тела, если в начальный момент тело находилось в начале координат и начальная скорость тела равна нулю.

52. Две точки начинают двигаться по прямой в один и тот же момент времени в одном и том же направлении из одного и того же места. Скорости точек равны м/с, м/с соответственно. Через какое время расстояние между ними составит 216 м?

53. Тело движется прямолинейно со скоростью Найти путь, пройденный телом от начала движения до остановки.

54. Ускорение протона изменяется по закону: (в СИ). Найти: 1) законы движения 2) соотношения между и .

55. Найти массу стержня длинной 100см, если его линейная плотность изменяется по закону: .

56. Какое количество тепла выделится в проводнике сопротивлением за 60 секунд, если ток изменяется по закону: (в СИ). (Указание: , –количество теплоты).

57. В момент времени t скорость изменения концентрации препарата с изотопным индикатором изменяется по закону: . Найти концентрацию препарата в момент времени

58. На материальную точку действует сила, которая линейно зависит от пройденного пути: . В начале движения она составляет 100Н, а когда точка переместилась на 10м, сила возросла до 600Н. Найти работу, произведенную силой на этом пути. Указание: элементарная работа .

59. Вычислить работу, совершаемую при сжатии пружины на 15см, если известно, что для сжатия пружины на 1см необходима сила 30Н. (Указание: ).

49. Тело движется прямолинейно со скоростью . Найти значение если известно, что за время от 0 до 2с тело прошло путь длиной 40м.

50. Тело движется со скоростью (м/с). Найти путь, пройденный телом за время от c до c.

51. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

52. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

53. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

54. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

55. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

56. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

57. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

58. Найти, при каком значении площадь фигуры, ограниченной кривой прямыми и осью абсцисс, равна .

59. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

60. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.

61. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: . Сделать рисунок.