- •2. Дифференцирование функции одной переменной
- •3. Интегральное исчисление
- •3.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •1. Непосредственное интегрирование.
- •2. Метод подстановки.
- •3. Метод интегрирования по частям.
- •3.2. Определенный интеграл
- •Формулы площадей плоских фигур.
- •2. Формулы объемов тел вращения.
- •4. Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
- •5. Основы теории вероятностей
- •Виды случайных событий
- •Полная группа событий
- •Исходы испытания
- •Классическое определение вероятности
- •Статистическое определение вероятности
- •Решение:
- •Решение:
- •Решение:
- •6. Случайные величины и их числовые характеристики
- •6.1. Дискретная случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии
- •Решение:
- •6.2. Непрерывная случайная величина
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины Математическое ожидание
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Решение:
- •6.3. Нормальное распределение непрерывной случайной величины (закон Гаусса)
- •7. Элементы математической статистики
- •Оценка параметров генеральной совокупности
- •Литература
- •Содержание
7. Элементы математической статистики
Общие положения и определения
При решении многих практических задач, связанных со статистическими моделями, необходимые вероятностные характеристики случайных величин неизвестны и должны определяться по экспериментальным данным.
Такое статистическое описание результатов экспериментов, построение и проверка различных математических моделей, использующих понятие вероятности, составляют основное содержание математической статистики.
Методы математической статистики расширяют возможности научного предсказания и целесообразного принятия решений в условиях неопределенности, когда принципиально не может быть известен полный комплекс условий проведения эксперимента.
Основополагающими понятиями статистической теории являются понятия генеральной совокупности и выборки.
Совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены, называется генеральной.
Число всех объектов, составляющих генеральную совокупность, называется ее объёмом и обозначается .
Конечный набор объектов, случайным образом отобранный из генеральной совокупности, называется выборочной совокупностью, или выборкой.
Число объектов выборки называется ее объёмом и обозначается .
Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно полно характеризует генеральную совокупность.
При отсутствии какой-либо дополнительной информации о специфических особенностях изучаемого явления наилучшим средством получения репрезентативной выборки является случайный выбор ее элементов.
Статистические оценки и их свойства
Установление закономерностей, которым подчинены массовые случайные явления, основано на изучении методами теории вероятностей статистических данных – результатов наблюдений.
Первая задача математической статистики состоит в том, чтобы указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате наблюдений или в результате специально поставленных экспериментов.
Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. Сюда относятся:
оценка неизвестной вероятности события; оценка неизвестной функции распределения; оценка параметров распределения, вид которого известен; оценка зависимости случайной величины от одной или нескольких случайных величин и др.;
проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или о величине параметров распределения, вид которого известен.
Современная математическая статистика разрабатывает способы определения числа необходимых испытаний до начала исследования (планирование эксперимента), в ходе исследования (последовательный анализ) и решает многие другие задачи. Современную математическую статистику определяют как науку о принятии решений в условиях неопределенности.
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема , т.е. по некоторой части генеральной совокупности высказать обоснованное суждение о свойствах генеральной совокупности в целом.
Использование выборочного метода при изучении генеральной совокупности неизбежно приводит к ошибкам – ошибкам репрезентативности, имеющим следующие особенности:
Возможную величину ошибок репрезентативности определяют из анализа выборочных данных и учитывают их при оценке генеральных параметров.
Ошибки репрезентативности можно свести к достаточно малой величине (путем увеличения объема выборочных данных).
Вероятности, признанные достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании выборочных показателей, называют доверительными ( или ).
С понятием доверительной вероятности связано понятие уровня значимости.
Вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называется уровнем значимости (или ).
Обычно (в статистике) рекомендуется пользоваться уровнем значимости при предварительных исследованиях и при окончательных выводах.
В качестве доверительных используются вероятности:
, т.е. на 20 испытаний допускается одна ошибка;
, т.е. на 100 испытаний допускается одна ошибка;
Вероятность, которой решено пренебрегать в данном исследовании, называется уровнем значимости (или ).
Обычно (в статистике) рекомендуется пользоваться уровнем значимости при предварительных исследованиях и при окончательных выводах.
В качестве доверительных используются вероятности:
, т.е. на 20 испытаний допускается одна ошибка;
, т.е. на 100 испытаний допускается одна ошибка;
, т.е. на 1000 испытаний допускается одна ошибка.