Основные теоремы теории вероятностей
1. В ящике находятся 3 синих и 4 красных карандаша. Наудачу извлекаются (без возврата) 3 карандаша. Найти вероятность того, что а) один (из трех) карандаш красный; б) хотя бы один карандаш красный.
2. В коробке смешаны нити, среди которых 20 белого цвета и 30 черного цвета. Найти вероятность того, что вынутые наугад две нити будут а) одного цвета; б) разного цвета.
3. Из колоды, содержащей 36 карт, берут 4 карты. Какова вероятность, что это тузы?
4. На склад поступают одинаковые изделия, изготовленные тремя различными фабриками, и произвольно перемешиваются. Первая фабрика поставила 50% ; вторая – 30% ; третья − 20% от общего объема продукции. Комиссия наудачу выбирает на складе единицу продукции. Какова вероятность, что выбранное изделие окажется отличного качества, если для изделий первой фабрики вероятность появления детали отличного качества равна 0,9; для второй фабрики – 0,8, а для третьей − 0,7?
5. В условиях примера 4 предположим, что наудачу выбранное изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность, что это изделие изготовлено первой фабрикой?
6. Студент, явившийся на экзамен последним, берет один из оставшихся трех билетов. Вероятность того, что студент получит положительную оценку, отвечая на оставшиеся билеты, следующая: 0,5; 0,7; 0,6. Известно, что студент сдал экзамен. Найти вероятность того, что студент отвечал на второй из оставшихся билетов.
7. Имеются 3 урны с шарами следующего состава: в первой находится 2 белых и 1 черный , во второй - 3 белых и 1 черный, в третьей – 2 белых и 2 черных. Выбирается наугад одна из урн и из нее вынимается шар. Найти вероятность того, что шар белый.
8. Имеются 3 урны следующего состава: в первой 20 белых, во второй 10 белых, в третьей 20 черных шаров. Из выбранной наугад урны вынули белый шар. Какова вероятность, что он из первой урны?
9. Команда состоит из 5 отличных, 5 хороших и 10 посредственных стрелков. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,9 для отличного стрелка; 0,7 для хорошего и 0,6 для посредственного. Наугад выбираемый стрелок стреляет в цель и не попадает. Найти вероятность того, что стрелял хороший стрелок.
10. Две игральные кости кидают пять раз. Какова вероятность, что сумма очков на обеих костях, кратная четырем, выпадет: а) точно два раза; б) не более одного раза, в) хотя бы один раз?
11. Найти вероятность того, что при подбрасывании монеты 25 раз орел выпадет 2 раза.
12. Игральную кость бросают семь раз. Какова вероятность, что число очков кратное трем выпадет точно два раза.
Дискретные и непрерывные случайные величины
1. Монета подбрасывается наудачу три раза. Для случайного числа появлений герба построить ряд распределения, полигон распределения.
2. Из ящика с семью деталями, среди которых имеется 5 стандартных, наудачу взяты четыре детали. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Построить полигон распределения.
3. В городе имеется три оптовые базы. Вероятность того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах, одинакова, и равна 0,2. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
4. Вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ) дискретной случайной величины, заданной следующим законом распределения:
№ варианта |
|
|
|
|
|
1 |
xi |
- 1 |
3 |
4 |
8 |
|
pi |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
2 |
xi |
1 |
4 |
7 |
10 |
|
pi |
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
3 |
xi |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
pi |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
4 |
xi |
-2 |
4 |
9 |
10 |
|
pi |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
0,4 |
5. Для равномерно распределенной на интервале (a,2*b) непрерывной случайной величины Х определить функции f(x) и F(x).
Построить графики обеих функций, а также вычислить основные числовые характеристики (МХ, DХ, σ). Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (а+1, 2*b-2).
№ варианта |
a |
b |
1 |
1 |
4 |
2 |
2 |
5 |
3 |
3 |
4 |
4 |
1 |
3 |
6. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно 10, среднее квадратичное отклонение равно 1. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина находится в интервале (8, 14).
7. Дана плотность распределения случайной величины Х:
Найти МХ, DХ, σ.