Типичные задачи b12 с функциями

6 января 2012

Сегодня мы рассмотрим типичные задачи B12, которые сводятся к работе с функциями. Речь пойдет о функциях в «чистом» виде — без дополнительных параметров и аргументов. Подобных задач не так много, поэтому урок будет коротким, но содержательным.

Говоря простым языком, функции — это когда одна переменная зависит от другой. В задаче B12 функции всегда задаются формулами и обозначаются разными буквами:f(x), h(t), m(t)...

Как решать такие задачи? Многие учителя рекомендуют сводить функцию к уравнениям и неравенствам, а затем решать их. Можно и так, но есть способ проще. Итак, всего три шага:

1. Найти в тексте задачи, чему должна быть равна функция. Пусть это будет число K.

2. Решить уравнение f(x) = K. Ну, или h(t) = K — в зависимости от того, как называется функция.

3. Если корень один — это и есть ответ. Если корней два и более — надо немного подумать. Например, время не может быть отрицательным, масса — нулевой, и так далее.

Функции в задаче B12 всегда очень простые, поэтому чаще всего проблемы возникают на третьем шаге. Но это лечится обыкновенной тренировкой.

Задача

Высота, на которой находится камень, брошенный с земли вертикально вверх, меняется по закону h(t) = 2 + 12t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет находиться на высоте более 6 метров?

Решение

Из условия следует, что надо решить уравнение h(t) = 6. Получаем обычное квадратное уравнение:

2 + 12t − 5t² = 6; 5t² − 12t + 4 = 0 — собрали все с одной стороны; ... (решаем обычное квадратное уравнение) t₁ = 0,4; t₂ = 2.

Итак, у нас два корня. Что это значит? В момент времени t₁ = 0,4 камень был на высоте 6 метров, затем — очевидно, больше 6, и, наконец, в момент t₂ = 2 снова 6 метров. Короче говоря, в период с t₁ = 0,4 до t₂ = 2 камень находился на высоте более 6 метров. Найдем длину отрезка:

l = t₂ − t₁ = 2 − 0,4 = 1,6.

Ответ

1,6

Задача

Камень брошен вниз с высоты 24 метра. Пока камень не упал, его высоту можно находить по формуле h(t) = 24 − 7t − 5t², где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд камень будет падать?

Решение

Что значит, что камень упал? Это означает, что его высота над поверхностью земли стала равна нулю. Итак, надо решить уравнение h(t) = 0. Имеем:

24 − 7t − 5t² = 0 — обычное квадратное уравнение; ... (решаем квадратное уравнение) t₁ = 1,6; t₂ = −3;

Очевидно, корень t₁ = −3 нам не подходит, поскольку время не может быть отрицательным. Поэтому камень будет падать 1,6 секунды.

Ответ

1,6

Почему-то в последней задаче многие (на самом деле, почти все) хотят решить уравнение h(t) = 24. Аргументация такая: мол, число 24 встречается в тексте, да еще и в самом начале. Так вот: это число не имеет никакого отношения к решению. Вообще. А требуемое значение функции надо искать в вопросе.

В самом деле, сколько секунд камень будет падать? Ну, до тех пор, пока не упадет. А что значит, что камень упал? Это значит, что его высота над землей равна нулю. Вот такие неслабые размышления.

Когда искомое значение функции определено, решить задачу не составит труда. В заключение рассмотрим еще 2 типовые задачи, которые любят давать на пробных экзаменах, и которые вполне могут встретиться на настоящем ЕГЭ.

Задача

В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:

H(t) = 5 − 1,6t + 0,128t²

где t — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

Решение

Эта задача очень похожа на предыдущую — про камень, брошенный с высоты 24 метра. Вода будет вытекать из бака до тех пор, пока высота столба не станет равной нулю. Поэтому H(t) = 0. Подставляем это значение в функцию и решаем уравнение:

0 = 5 − 1,6t + 0,128t²; 0 = 625 − 200t + 16t² — умножили все на 125; 16t² − 200t + 625 = 0 — стандартное квадратное уравнение;

Поскольку коэффициенты получились неслабые, причем a = 16 ≠ 0, работаем через дискриминант (см. урок «Решение квадратных уравнений»). Имеем:

D = b² − 4ac = (−200)² − 4 · 16 · 625 = 40 000 − 40 000 = 0 — уравнение имеет ровно 1 корень. t = −b : (2a) = −(−200) : (2 · 16) = 200 : 32 = 6,25.

Таким образом, вода перестанет вытекать из бака через 6,25 минуты — это и есть ответ.

Ответ

6,25

Задача

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формулеh = −5t², где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 1,4 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

Решение

Это немного нестандартная задача с функцией. По условию, аргумент t может принимать 2 значения:

t₁ = 1,4 — исходное, дано в условии задачи; t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3 — новое значение.

Теперь подставим эти значения в функцию h(t). Так мы найдем расстояние от верхней кромки колодца до поверхности воды до и после дождя. Имеем:

h(t₁) = −5 · (1,4)² = ... = −9,8; h(t₂) = −5 · (1,3)² = ... = −8,45.

Итак, есть два значения: −9,8 метра и −8,45 метра. Если вычесть из большей высоты меньшую, получим искомую минимальную высоту Δh, на которую должен подняться уровень воды:

Δh = −8,45 − (−9,8) = 9,8 − 8,45 = 1,35 — это и есть ответ.

Ответ

1,35

Небольшое пояснение к последней задаче. Откуда взялось число t₂ = 1,3? По условию, уровень воды повышается, а значит, расстояние от воды до верхней кромки колодца становится меньше. Следовательно, уменьшается и время полета камня.

Именно поэтому мы уменьшаем исходное время (t₂ = 1,4 − 0,1 = 1,3), а ни в коем случае не увеличиваем его. Понять это — вот основная трудность подобных задач. Сводный тест по задачам B12 (1 вариант)

9 января 2012

Перед вами 12 задач, которые предлагались на пробных ЕГЭ по математике, а также в различных сборниках. Это настоящие задачи B12 — первые из них относительно легкие, но в конце будут довольно трудные экземпляры.

Постарайтесь решать задачи именно в том порядке, в котором они даны. Этот порядок выбран не случайно: здесь чередуются формулы, функции и комбинированные задачи (см. урок «Комбинированные задачи B12»). Одновременно чередуются и методы их решения: от простых линейных и квадратных уравнений до иррациональных уравнений и высших степеней.

Никто не знает, какая задача попадется в настоящем ЕГЭ по математике. Поэтому надо уметь решать их все. Если что-то не получается, не расстраивайтесь — попробуйте «Сводный тест по задачам B12 — 2 вариант».

Начало формы

• B1

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой: q = 160 − 10p. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) задается формулой r(p) = q · p.

Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 600 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

• 

• B2

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением:

T(t) = T₀ + bt + at²

где T₀ = 1350 К, a = −15 К/мин, b = 180 К/мин².

Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

• B3

Сила тока в цепи I (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:

где U — напряжение в вольтах, R — сопротивление электроприбора в Омах.

В электросеть включен предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 20 А. Определите, какое минимальное сопротивление (в Омах) должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать.

• B4

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле:

h = −5t²

где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 0,8 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,2 секунды? Ответ выразите в метрах.

• B5

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

где m₀ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада.

В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времениm₀ = 200 мг изотопа меди, период полураспада которого T = 2 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 12,5 мг?

• B6

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону:

h(t) = 1 + 11t − 5t²

где t измеряется в секундах, а h — в метрах. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте более трех метров?

• B7

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:

где T₁ — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T₂ — температура холодильника (в градусах Кельвина).

При какой минимальной температуре нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не менее 75%, если температура холодильника T₂ = 280 К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

• B8

Расстояние от наблюдателя, выраженное в километрах, находящегося на высотеh метров над землей, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле:

где R = 6400 км — радиус Земли.

Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 6,4 километра. К пляжу ведет лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек надо подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 11,2 километра?

• B9

В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем меняется по закону:

H(t) = at² + bt + H₀

где H₀ = 2 м — начальный уровень воды, a = 1/50 м/мин² и b = −2/5 м/мин —постоянные. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

• B10

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

где σ = 5,7 · 10⁻⁸ — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/81) · 10¹² м², а излучаемая еюмощность P не менее 46,17 · 10²¹ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

• B11

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляютv = 200 руб., постоянные расходы предприятия f = 200 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле:

π (q) = q(p − v) − f.

Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не менее 300 000 руб.

• B12

При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 15 метров. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону:

l(t°) = l₀ · (1 + a · t°)

где a = 1,2 · 10⁻⁵ (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия).

При какой температуре рельс удлинится на 6,3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Сводный тест по задачам B12 (2 вариант)

10 января 2012

Аналог теста, опубликованного вчера (см. «Сводный тест по задачам B12»). Однако не думайте, что задачи здесь отличаются лишь числами. Напротив, вариант составлен практически «с нуля»: изменились многие условия, изменилась последовательность, появились новые задачи.

Рекомендации остались прежними: решайте задачи в том порядке, в котором они приведены. Типы задач и методы их решения чередуются, что делает подобную тренировку еще более эффективной. Удачи!

Начало формы

• B1

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой:

При каком наименьшем значении температуры нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не менее 60%, если температура холодильника T₂ = 400?

• B2

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону:

где m₀ (мг) — начальная масса изотопа, t (мин) — время, прошедшее от начального момента, T (мин) — период полураспада.

В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времениm₀ = 60 мг изотопа золота, период полураспада которого T = 15 мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не менее 15 мг?

• B3

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры:

где σ = 5,7 · 10⁻⁸ — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, температура — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах.

Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = (1/256) · 10¹³ м², а излучаемая ею мощность P не менее 9,12 · 10²² Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Ответ дайте в градусах Кельвина.

• B4

При температуре 0 °С рельс имеет длину l₀ = 10 метров. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в 3 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону:

l(t) = l₀ · (1 + a · t)

где a = 1,2 · 10⁻⁵ (°C)⁻¹ — коэффициент теплового расширения, t — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре зазор между рельсами исчезнет? Ответ выразите в градусах Цельсия.

• B5

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону:

где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м —начальная высота столба воды, k = 1/800 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g = 10 м/с² — ускорение свободного падения.

К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема воды? Ответ выразите в секундах.

• B6

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур дается выражением:

T(t) = T₀ + bt + at²

где T₀ = 1400 К, a = −50 К/мин, b = 400 К/мин².

Известно, что при температуре нагревателя свыше 1750 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах), через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

• B7

Модель камнеметательной машины выстреливает камни под определенным углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полета камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой:

y = ax² + bx

где a = −1/100 м⁻¹, b = 1 — постоянные параметры, x — расстояние от машины до камня, считаемое по горизонтали, y — высота камня над землей.

На каком наименьшем расстоянии от крепостной стены высотой 8 метров надо расположить машину, чтобы камни пролетали над ней на высоте не менее 1 метра? Ответ выразите в метрах.

• B8

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет R = 50 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите (в Омах) наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не менее 25 Ом.

При этом известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями R_x и R_y их общее сопротивление дается формулой:

• B9

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик определяет его, измеряя время падения t небольших камушков в колодец и рассчитывая по формуле:

h = −5t²

где t измеряется в секундах, а h — в метрах.

До дождя время падения камушков составляло 0,6 секунды. На какую минимальную высоту должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось больше чем на 0,1 секунды? Ответ выразите в метрах.

• B10

По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна:

где ε — ЭДС источника (в вольтах), r = 2 Ом — его внутреннее сопротивление, R —сопротивление цепи (в Омах).

При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 20% от силы тока короткого замыкания I_кз = ε/r? Ответ выразите в Омах.

• B11

Операционная прибыль предприятия в краткосрочном периоде вычисляется по формуле:

π (q) = q(p − v) − f.

Компания продает свою продукцию по цене p = 600 руб. за штуку, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб. за штуку, постоянные расходы предприятия f = 700 000 руб. в месяц.

Определите наименьший месячный объем производства q (шт.), при котором прибыль предприятия будет не менее 500 000 руб. в месяц.

• B12

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле:

Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,4 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразитев км/ч².