Итерационные методы решения
Итерационными называются методы, при которых решение системы уравнений (2.1) получается как предел некоторой последовательности.
Вновь рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений с отличным от нуля определителем det(A), которую представим в компонентной форме
.
Преобразуем эту систему к виду
,
.
Метод Якоби1
Последнее выражение представим в виде итерационной схемы
, (2.9)
где n - номер итерации. Для получения
решения используется следующий алгоритм.
В качестве нулевого приближения
выбираются какие-либо (зачастую
произвольные) значения
искомых величин, которые подставляются
в правую часть выражения (2.9), что позволяет
определить первое приближение
неизвестных
.
Затем полученный результат вновь
подставляется в правую часть выражения
(2.9) и вычисляются
,
и так далее. Вычислительный процесс
заканчивается, например, когда выполняется
условие
,
где > 0 - заданная точность вычисления результата.
Пример 2.3. Рассмотрим систему алгебраических уравнений
Точное решение этой системы x = 0,5, y=1,5 .
Из первого уравнения выразим первую неизвестную x
,
а из второго - неизвестную y,
.
Представим полученные выражения в виде итерационной схемы
В качестве начального приближения
примем
.
Результаты расчетов сведены в табл.
2.1. На рис. 2.1 графически показан ход
выполнения итерационного процесса
метода Якоби.
Таблица 2.1
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Якоби
-
n
x(n)
y(n)
0
0
0
1
1,25
1,8
2
0,35
1,05
3
0,725
1,59
4
0,255
1,365
5
0,5675
1,527
6
0,4865
1,4595
7
0,5203
1,5081
8
0,4959
1,4879
9
0,5061
1,5024
10
0,4988
1,4964
11
0,5018
1,5007
12
0,4996
1,4989
13
0,5005
1,5002
Представим матрицу коэффициентов А в
виде суммы
,
где
- нижняя треугольная матрица с нулевой
диагональю;
- верхняя треугольная матрица с нулевой
диагональю;
- диагональная матрица. Теперь систему
уравнений Ax = f можно представить в
виде:
и метод Якоби будет выглядеть следующим образом:
.
Учитывая, что
,
последнее выражение можно также
представить в форме
. (2.10)
Y
3
4x + 2y = 5
2
1
3x + 5y = 9
0 X
0 1 2 3
Рис. 2.1. Схема выполнения метода Якоби