5. Алгебраическая проблема собственных значений
Пусть А - квадратная матрица размером
;
если существуют такие векторы
,
что
, (5.1)
то называется собственным значением, а X - собственным вектором матрицы A, соответствующим этому собственному значению.
В иной записи,
.
(5.2)
Очевидно, что система линейных однородных алгебраических уравнений (5.2) имеет нетривиальное решение лишь в случае
.
Понятно, что характеристический
многочлен
является полиномом степени n от переменной
. Это, в свою очередь,
означает, что существует n корней
характеристического многочлена, и,
следовательно, имеется n собственных
значений
и соответствующих им собственных
векторов
для матрицы A.
Пример 5.1. Пусть задана матрица
.
Требуется определить собственные значения и векторы этой матрицы.
Характеристический многочлен:
.
Собственные значения:
.
Определим первый собственный вектор,
соответствующий
,
Здесь обозначено:
- компоненты вектора
.
Очевидно, что последняя система содержит
линейно зависимые уравнения (как это и
следовало ожидать при
).
Используя любое из уравнений этой
системы, получим
.
Примем для однозначности определения
собственных векторов условие нормирования
,
то есть
,
,
.
Теперь найдем второй собственный вектор,
соответствующий
,
Отсюда получаем связь компонент второго
собственного вектора:
.
Из условия нормирования следует:
,
,
.
Устойчивость собственных значений и векторов
Рассмотрим две матрицы, A и
.
Собственные числа обеих матриц, в чем
нетрудно убедиться, одинаковы. Собственные
векторы матриц обозначим соответственно
:
.
Для скалярных произведений
и
вычислим разность
.
Поскольку
, (5.3)
получаем:
.
Отсюда следует, что для различных
собственных значений,
,
собственные векторы матриц A и
взаимно ортогональны.
Представим выражение (5.1) в малых приращениях:
.
Это выражение скалярно умножим на
:
. (5.4)
Для оценки устойчивости собственных значений в формуле (5.4) положим i = j :
.
Поскольку
,
получаем
,
.
Отсюда следует оценка
.
Величина
называется коэффициентом перекоса;
- угол между векторами
.
Далее будем предполагать, что матрица
A симметрична1,
то есть
,
и все ее собственные числа различны. В
этом случае собственные векторы матрицы
А образуют в
полную ортонормированную систему,
которую можно использовать в качестве
базиса. Очевидно, что для симметричных
матриц
.
А значит, имеет место устойчивость
собственных значений:
.
Для оценки устойчивости собственных
векторов теперь рассмотрим случай
.
В силу формулы (5.3) следует
.
Используя это выражение и условие ортогональности векторов
,
из соотношения (5.4) получаем
,
.
Разложим вектор
по базису
:
.
Вычислим скалярное произведение
,
которое позволяет получить выражение
для коэффициентов разложения
:
.
В случае i = p за счет произвола в выборе
длины собственных векторов можно
положить
.
Теперь разложение вектора
по базису
имеет вид
.
Оценим приращение вектора :
,
.
Отсюда очевидно, что неустойчивость
собственных векторов имеет место в
случае, когда велики коэффициенты
перекоса
,
либо близки собственные значения
.
Пример 5.2. Рассмотрим матрицу A,
указанную в примере 5.1. Нетрудно убедиться,
что для транспонированной матрицы
собственные числа остаются теми же,
,
а соответствующие собственные векторы
определяются следующим образом:
,
.
Перемножим скалярно собственные векторы обеих матриц:
,
,
то есть имеет место ортогональность собственных векторов матриц A и ;
,
.
Подсчитаем коэффициенты перекоса:
,
.
Пример 5.3. Оценить влияние погрешности на результаты вычисления собственных значений матрицы
,
где - малое возмущение (погрешность).
Решение характеристического уравнения
.
дает корни (собственные значения):
,
,
,
.
В табл. 5.1 приведены собственные значения исходной матрицы при различных величинах .
Таблица 5.1
Определение собственных значений матрицы при заданных величинах погрешности
-
Собственные значения
= 0
= 0,1
= 0,01
= 0,001
1
1,0
0,983817673
0,9983384
0,999833384
2
2,0
2,051456633
2,005012689
2,000500125
3
3,0
2,948543367
2,994987311
2,999499875
4
4,0
4,016182327
4,0016616
4,000166616