
- •Часть 1
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Источники и причины погрешностей математической модели
- •Погрешность математической модели
- •Погрешность исходных данных
- •Погрешность численного метода
- •Погрешность проведения расчетов на вычислительных машинах
- •Погрешности округления чисел в эвм
- •Погрешность результатов вычисления арифметических операций
- •“Потеря порядка” и “переполнение” при проведении вычислений на эвм
- •Машинная реализация вычислений
- •Контрольные вопросы и задания
- •2. Системы линейных алгебраических уравнений
- •Прямые методы решения
- •Метод Гаусса
- •Определение числа операций алгоритма метода Гаусса
- •Вычисление определителя матрицы
- •Построение обратной матрицы
- •Метод квадратного корня
- •Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
- •Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
- •Итерационные методы решения
- •Метод Якоби1
- •Метод Зейделя1
- •Сходимость итерационных методов
- •Скорость сходимости
- •Полиномы Чебышёва1
- •Итерационный метод с чебышёвским набором параметров
- •Неявный метод с чебышёвским набором параметров
- •Метод минимальных невязок
- •Метод минимальных поправок
- •Метод скорейшего спуска
- •Неявный метод скорейшего спуска
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.НелинейныЕ уравнения
- •Методы вычисления корней нелинейного уравнения1 Метод половинного деления2
- •Метод простых итераций
- •Метод Ньютона2
- •Модификации метода Ньютона
- •Системы нелинейных уравнений
- •Метод простых итераций
- •Метод релаксации
- •Метод Ньютона
- •Нелинейный вариант метода Якоби
- •Нелинейный вариант метода Зейделя
- •Контрольные вопросы и задания
- •Интерполяция степенными функциями
- •Интерполяционный многочлен Ньютона
- •Интерполяционная формула Лагранжа
- •Погрешность полинома Ньютона (Лагранжа)
- •Сходимость интерполяционного процесса
- •Интерполяционный многочлен Эрмита1
- •Интерполяция сплайнами
- •Построение кубического сплайна
- •Сходимость процесса интерполяции кубическими сплайнами
- •Наилучшее приближение в гильбертовом пространстве
- •Метод наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Алгебраическая проблема собственных значений
- •Устойчивость собственных значений и векторов
- •Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции
- •Трехдиагональные матрицы
- •Поиск собственных векторов
- •Частичная проблема собственных значений
- •Метод линеаризации
- •Степенной метод
- •Метод обратных итераций
- •Контрольные вопросы и задания
- •6.Численное дифференцирование Конечно-разностная аппроксимация
- •Применение интерполяционных формул
- •Контрольные вопросы и задания
- •7.Численное интегрирование
- •Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Формула Симпсона1
- •Формула Эйлера1
- •Оценка погрешности методом Рунге2
Определение числа операций алгоритма метода квадратного корня
Подсчитаем число операций умножения и деления, необходимых для реализации алгоритма метода квадратного корня.
1. Факторизация исходной матрицы, то есть вычисление матриц S и D:
;
2. Выполнение “обратного” хода:
;
3. Вычисление m раз значений квадратных корней.
Общее количество операций равно
,
или приблизительно
,
что практически в два раза меньше, чем
число операций в алгоритме метода
Гаусса.
Пример 2.1. Рассмотрим решение системы двух линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня:
1.
;
2.
;
3.
.
Точное решение задачи :
.
Устойчивость системы линейных алгебраических уравнений
Для оценки влияния изменения (возмущения) правой части f и матрицы коэффициентов А на решение x системы линейных алгебраических уравнений Ax = f введем линейное пространство H векторов размерности m, в котором определим норму, удовлетворяющую условиям [8]:
В пространстве Н в качестве нормы вектора могут быть взяты определения “кубической” и “сферической” норм [9]:
.
Определим норму матрицы (оператора):
.
Из последнего определения, в частности, следуют известные соотношения:
Здесь Е - тождественный оператор,
.
В качестве нормы матрицы А может быть взято определение [8]:
,
либо определение [9]:
.
Пусть
-
“возмущенная” правая часть системы
уравнений. Оценим изменение решения
как следствие изменения правой части
.
Система уравнений Ax=f называется
устойчивой по правой части, если
- положительная константа.
Это, в частности, означает, что
при
,
то есть имеется непрерывная зависимость
решения от правой части.
Пусть определитель матрицы А отличен
от нуля. В этом случае существует обратная
матрица
.
В силу линейности системы алгебраических
уравнений имеем:
отсюда следует
(2.7)
и роль константы М может выполнять
.
Чем ближе значение det(A) к нулю, тем больше
величина
,
тем значительнее отклонение x
при возмущении f
.
Из уравнения Ax = f следует оценка
.
Перемножая два последних неравенства, получаем
,
,
где
- число обусловленности матрицы А,
характеризующее зависимость относительной
погрешности решения системы уравнений
от относительного “возмущения” правой
части. Очевидно, что
.
Пример 2.2. Рассмотрим систему уравнений
Определитель этой системы уравнений
отличен от 0, хотя и мал. Матрица
коэффициентов представляется в виде
.
Вычисление обратной матрицы приводит к значению
.
Нетрудно убедиться, что определитель обратной матрицы принимает значение
.
При использовании для вычисления нормы матрицы выражения
получаем для рассматриваемого случая:
Теперь можно оценить число обусловленности матрицы А, то есть показатель устойчивости решения при возмущении правой части системы уравнений:
.
Рассмотрим случай одновременного возмущения и правой части f, и матрицы коэффициентов A:
.
Для получения полной оценки погрешности решения системы алгебраических уравнений необходимо рассмотреть вспомогательное утверждение:
Лемма 2.1. Пусть С - квадратная матрица,
;
Е - единичная матрица. Тогда существует
,
причем
.
Доказательство
Для любого x имеет место неравенство
, (2.8)
где
- по условию леммы.
Рассмотрим однородное уравнение (E + C)x = 0. Из неравенства (2.8) следует
,
что возможно лишь при
,
откуда следует, что x = 0 . Иными словами,
однородное уравнение (E + C)x = 0 имеет
только тривиальное решение. Но это
означает, что определитель det(E + C) не
равен нулю, то есть существует обратная
матрица
.
Теперь рассмотрим уравнение
(E + C)x = y,
имеющее решением
.
С помощью выражения (2.8) получаем
,
.
Последним неравенством воспользуемся для подсчета нормы
.
Что и требовалось доказать.
Теорема 2.3. Пусть матрица А имеет обратную и выполнено условие
.
Тогда матрица
имеет обратную и справедлива оценка
погрешности
Доказательство
.
Оценим норму матрицы С с использованием условия теоремы:
.
В силу того, что матрица С удовлетворяет условию леммы 2.1, существует матрица . Поскольку
,
то
существует в силу существования матриц
и
.
Теперь определим отклонение возмущенного решения от исходного:
.
Учитывая, что
,
получаем
,
откуда можно оценить норму
.
Оценим порознь слагаемые в правой части этого неравенства:
;
.
Подставим полученные оценки в исходную формулу:
.
Учитывая, что
,
имеем
.
Вспоминая, что , получаем доказываемое утверждение теоремы