Определение собственных значений и векторов Метод интерполяции

Пусть задана матрица А размером . Очевидно, что характеристический многочлен в этом случае имеет порядок n (полином степени n), и задача заключается в определении корней этого полинома.

Алгоритм вычисления собственных значений матрицы А следующий:

1. Строится функция :

- на числовой оси выбирается (n+1) значений ;

- подсчитываются значения функции , например, с помощью процедуры метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений;

- по найденным значениям строится интерполяционный полином Ньютона (Лагранжа); ранее отмечалось, что для рассматриваемого случая многочлен степени n определяется единственным образом; в силу этого построенный полином как раз и будет характеристическим.

2. Каким-либо из известных методов решения нелинейных уравнений отыскиваются корни построенного полинома , которые представляют собой собственные значения исходной матрицы.

Трехдиагональные матрицы

В практике инженерных расчетов часто встречаются трехдиагональные матрицы, у которых отличны от нуля лишь коэффициенты, расположенные на главной диагонали, а также над и под нею. Пусть такая матрица имеет вид

.

Для определения собственных значений требуется подсчитать определитель матрицы

.

Разложим этот определитель по коэффициентам нижней строки матрицы :

,

где

,

.

Этот минор содержит лишь один ненулевой элемент в последнем столбце. В этом случае возможно представление

.

Таким образом, получено рекуррентное соотношение для вычисления значения определителя трехдиагональной матрицы:

.

Для определенности следует положить . В этом случае, очевидно, имеют место выражения:

,

,

... и так далее.

Поиск собственных векторов

При численных расчетах, как правило, отыскиваются лишь приближенные величины собственных значений . В этом случае

и система уравнений

позволяет отыскать лишь тривиальное решение .

Пусть - произвольный вектор. Рассмотрим систему уравнений

. (5.5)

Пусть - собственные линейно-независимые векторы, соответствующие различным собственным значениям¹; эти векторы в можно взять в качестве базиса. Разложим векторы по этому базису:

, .

Подставим эти выражения в систему уравнений (5.5):

,

.

В силу линейной независимости векторов получаем

, .

При условии, что , коэффициент становится большим, , вследствие чего

,

то есть вектор будет близок по направлению к собственному вектору . Повторим решение системы уравнений (5.5) с новой правой частью:

.

Вновь представим решение в виде разложения

и повторим предыдущие рассуждения, что приведет к выражению

.

Очевидно, что поскольку величина значительно преобладает над остальными коэффициентами , новый коэффициент будет еще больше, чем , то есть вектор будет еще ближе по направлению к собственному вектору . Иными словами возможно построение итерационного процесса вида

, (5.6)

причем - произвольный начальный вектор.

Следует отметить, что если собственное значение вычислено достаточно точно, то , что может привести к аварийной остановке вычислительного процесса.

В этом случае для повышения устойчивости расчетов в матрицу вносится некоторая погрешность, например, за счет искажения собственного значения .

Пример 5.4. Определить собственные векторы для матрицы .

При выполнении примера 5.1 получены собственные значения . Для определения собственных векторов, соответствующих первому собственному значению, зададим погрешность  : .

Система уравнений (5.6) для первого вектора принимает вид

Это система уравнений имеет следующее решение:

.

Для погрешности =0,001 получаем

,

.

После нормирования компоненты собственного вектора единичной длины

.

Первый собственный вектор, определенный ранее для этой же матрицы,

.

Выполним такую же процедуру для второго собственного значения:

;

;

;

.

Нормированный собственный вектор

.

Второй собственный вектор, определенный в примере 5.1, отличается от найденного лишь направлением: .