Сходимость итерационных методов
Сравнивая формулы (2.10) метода Якоби и
(2.12) метода Зейделя, можно заметить, что
если методы сходятся, то есть в некотором
смысле
,
то они сходятся к решению исходных задач
.
Пример 2.5. Рассмотрим еще одну систему алгебраических уравнений, несколько отличающуюся от приведенных в предыдущих примерах:
Точное решение этой системы x = 0,5, y = 1,5 .
Для решения воспользуемся методом Зейделя. Как и ранее, представим уравнения в виде итерационной схемы
Результаты расчетов сведены в табл. 2.3. На рис. 2.3 отражен ход выполнения процедуры Зейделя.
Таблица 2.3
Результаты выполнения итерационной процедуры метода Зейделя
-
n
x(n)
y(n)
0
0,0
1
1,25
4,5
2
-1,0
-4,5
3
3,5
13,5
4
-5,5
-22,5
5
12,5
49,5
6
...
Результаты расчетов показывают, что в последнем случае отсутствует сходимость последовательности результатов к точному решению. Это приводит к необходимости определения условий сходимости той или иной итерационной процедуры.
В общем случае итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в канонической форме
, (2.13)
где
- итерационные параметры.
Y -20x + 5y = -2.5
5
4
3
2
1
X
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1 4x + 2y = 5
-2
-3
-4
-5
Рис. 2.3. Отсутствия сходимости при использовании метода Зейделя
В случае, если
не зависят от номера итерации, метод
называется стационарным. В частности,
для метода Якоби
;
для метода Зейделя
.
Если
,
метод называется явным; в случае
- неявным.Примеры итерационных
методов:
- явный стационарный метод простых итераций
;
- неявный стационарный метод верхней релаксации
.
Введем пространство
m - мерных векторов со скалярным
произведением
и нормой
.
Определим матричное неравенство: квадратная матрица C > 0 тогда и только тогда, когда
.
Иначе это определение может быть записано следующим образом:
.
Чтобы определить величину , рассмотрим два случая:
1. Пусть симметричная матрица С > 0, тогда согласно первоначальному определению квадратичная форма1 (Сx,x) > 0 . Но квадратичную форму можно привести к каноническому виду в главных осях:
,
где
- собственные числа матрицы С;
- главные координаты.
В силу С > 0 имеем
,
вследствие чего
,
и отсюда получаем
,
то есть в качестве может быть взято наименьшее собственное значение матрицы С.
2. Если С - несимметричная матрица, поступают следующим образом для определения :
,
.
В последнем соотношении индексы суммирования можно поменять местами:
Теперь очевидно, что
.
Поскольку
,
то и
.
Построим матрицу
:
,
но это означает, что построенная матрица является симметричной. Кроме того,
в силу предыдущих соотношений.
Это, в свою очередь, означает, что
-
наименьшее собственное значение матрицы
.
Следовательно,
,
то есть указанное выше дополнительное определение положительности имеет место и для несимметричной матрицы.
Оценка
позволяет утверждать, что существует
обратная матрица
,
так как в случае положительной
определенности матрицы все ее главные
(угловые) миноры положительны (критерий
Cильвестра1,
[7]).
Для установления условий сходимости
определим величину погрешности метода
формулой
,
тогда из формулы (2.13) для стационарного
итерационного метода можно получить
,
(2.14)
Теорема 2.4. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица, A > 0; итерационные параметры удовлетворяют соотношению
.
Тогда стационарный итерационный метод сходится.
Доказательство. Для доказательства
теоремы следует показать, что погрешность
метода
при любой начальной погрешности
.
Построим числовую последовательность
вида
.
Из формулы (2.14) следует
Теперь можно подсчитать
Вследствие симметрии матрицы А имеем
Иначе говоря,
.
Отсюда получаем
.
В силу условия теоремы
,
откуда следует, что
,
то есть построенная последовательность
является монотонно убывающей и, кроме
того, в силу
,
ограничена снизу. Отсюда следует, что
существует предел этой последовательности
.
Из положительной определенности (B - 0,5A) > 0 следует существование константы >0 такой, что имеет место
.
Теперь предыдущее соотношение может быть переписано в форме неравенства:
.
При n
из последнего выражения получаем
.
Очевидно, что неравенство
может выполняться лишь при условии, что
.
С другой стороны,
,
причем
существует
в силу положительной определенности
матрицы А по условию теоремы. Оценим
норму погрешности:
.
Теперь становится очевидным, что
вследствие
имеет место
,
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица. Тогда метод верхней релаксации
сходится при 0 < < 2. В частности, метод Зейделя ( = 1) сходится.
В рассматриваемом случае, очевидно,
.
.
Последнее соотношение справедливо в силу симметрии матрицы А:
.
Условие сходимости итерационного метода теоремы 2.4 принимает вид:
Очевидно, что последнее неравенство
выполняется при условии
.
Следствие 2. Пусть А - симметричная положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть имеет место
.
Тогда метод Якоби сходится.
Поскольку в рассматриваемом случае B = D, условие сходимости принимает вид неравенства
.
Из неравенств
,
следует
.
В силу симметричности и положительной определенности матрицы А имеем
.
Используя предположение следствия, запишем
.
Из двух последних неравенств получаем
,
что и требовалось доказать.