2. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть имеется плоскость P: A x + B y + С z + D = 0 и точка . Расстояние от точки до плоскости P равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Возьмем на плоскости произвольную точку М ₀ (x ₀, y ₀, z ₀).

Предположим сначала, что точка принадлежит положительному полупространству. Тогда угол  между векторами и острый , их скалярное произведение положительно и равно · =  ·  cos .

Заметим, что произведение  cos  равно проекции вектора на вектор , перпендикулярный плоскости P , то есть равно d — длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Следовательно

· =  · d  d = = = = =  0 , так как точка принадлежит положительному полупространству.

Пусть теперь точка принадлежит отрицательному полупространству. Тогда угол  между векторами – и острый , их скалярное произведение положительно и равно – · = – ·  cos .

Произведение  cos  равно проекции вектора на вектор – , перпендикулярный плоскости P , то есть равно d — длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость P. Следовательно

– · = – · d  d = = = = = = –  0, так как точка принадлежит отрицательному полупространству.

В общем случае расстояние от точки до плоскости P вычисляется по формуле d = .

3. Полуплоскости. Расстояние от точки до прямой.

Пусть имеется прямая L: A x + B y + С = 0 с вектором нормали = (А; В).

21

Положительной полуплоскостью, определяемой прямой L и ее нормалью называется множество точек М (x, y) плоскости, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀) прямой L угол между векторами и не превышает .

Отрицательной полуплоскостью, определяемой прямой L и ее нормалью называется множество точек М (x, y) плоскости, такое, что для некоторой точки М ₀ (x ₀, y ₀) прямой L угол между векторами – и не превышает .

Повторяя рассуждения, приведенные в пунктах 1. и 2., получим неравенства A x + B y + С  0 и A x + B y + С  0, задающие положительную и отрицательную полуплоскости соответственно. Формула расстояния от точки до прямой L имеет вид d = .