3. Операции над векторами.
Векторы на плоскости и в пространстве
можно складывать и умножать на числа.
Сложение векторов производится по
правилу параллелограмма: если привести
векторы к общему началу, то их суммой
будет вектор, имеющий то же начало и
являющийся диагональю параллелограмма,
построенного на данных векторах.
Произведением вектора
на число называется
вектор
,
коллинеарный вектору
,
направленный так же, как
,
если > 0, и
направленный в противоположную сторону,
если < 0, длина
вектора
равна длине вектора
,
умноженной на
.
Операции над векторами удовлетворяют следующим свойствам:
+
=
+
+ (
+
)
= (
+
)
+
( ) = ( )
( + ) = +
(
+
)
=
+
Если векторы и заданы своими координатами = ( ) и
=
(
),
то
+
=
(
),
= (
).
4. Разложение вектора по ортам.
Рассмотрим векторы
,
и
единичной длины, направленные по осям
координат. Эти три вектора (на плоскости
два:
и
)
обладают тем свойством, что про-
6
извольный вектор
может
быть представлен в виде
=
( на плоскости
=
).
Эти равенства легко проверяются
геометрическими построениями, поскольку
на плоскости любой вектор
является диагональю прямоугольника со
сторонами, образованными векторами
и
,
а в пространстве — диагональю
прямоугольного параллелепипеда со
сторонами
,
и
.
5. Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух
ненулевых векторов
и
называется число
·
,
равное произведению длин векторов
и
на
косинус угла между ними.
·
=
.
Если хотя бы один из векторов равен
,
то их скалярное произведение считается
равным 0.
Следствие.
=
.
Свойства скалярного произведения:
1)
·
=
·
;
2) · = · = ( · );
3)
· (
+
)
=
·
+
·
;
4)
·
=
.
Из этого свойства следует, что
=
.
5) Если и , то · = 0 .
Следствия:
· = · = · = 1;
· = · = · = 0.
Теорема.
Если векторы и заданы своими координатами = ,
=
,
то
·
=
.
Для векторов на плоскости имеем
соответственно
·
=
.
Доказательство.
Доказательство проведем для случая векторов на плоскости.
7
·
=
(
)·(
)
=
= =
.
Следствия.
=
0; для векторов на плоскости
=
0;
2)
=
;
для векторов на плоскости
=
;
3)
;
для векторов на плоскости
.
6. Векторное произведение векторов.
Понятие векторного произведения вводится только для векторов в пространстве.
Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1. , ;
2. тройка векторов , , является правой;
3. длина вектора
равна произведению длин векторов
и
на
синус угла между ними:
.
Геометрический смысл векторного произведения: длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и .
Свойства векторного произведения.
1) = – ;
2)
=
=
(
);
3) ( + ) = + ;
4) Если и , то = .
Следствия:
= = = ;
=
;
=
;
=
;
= –
;
= –
;
= –
.
Если векторы и заданы своими координатами = ,
8
=
,
то для вычисления векторного произведения
используется формула
=
=
=
–
+
=
=
–
+
.
Здесь использованы понятия определителей
второго и третьего порядков, которые
изучаются в теме «Линейная алгебра».