2. Группировка вариационного ряда

2.1 Определение количества классов (интервалов).

Для определения количества классов используем формулу Старжесса

K =1+ 3,3⋅lg N (1)

где К — количество классов;

N — объем выборки или количество значений в ряду.

По формуле (1) определяем количество классов, на которое необходимо разделить вариационный ряд:

K =1+ 3,3⋅lg 30 ≈ 6.

2.2 Определить длины каждого класса:

Определение размаха или амплитуды колебания случайной величины:

R = X_min − X_max (2)

h = R/K (3)

где R — размах (мг/л);

h — длина каждого интервала.

h = (X_min − X_max )/K = (25,91 – 18,3)/6=7,61/6 ≈ 1,27

2.3 Определение границ каждого интервала:

1. X_min + h = X₁ — [X_min; X₁] — границы 1-го интервала;

2. X₁ + h = X₂ — [X₁; X₂] — границы 2-го интервала;

…………………………………………………………

6. X₅ + h = X₆ — [X₅; X₆] — границы 6-го интервала;

Результаты расчета:

Границы 1-го интервала — [18,3; 19,57];

Границы 2-го интервала — [19,57; 20,84];

Границы 3-го интервала — [20,84; 22,11];

Границы 4-го интервала — [22,11; 23,38];

Границы 5-го интервала — [23,38; 24,65];

Границы 6-го интервала — [24,65; 25,92].

2.4 Определение эмпирической частоты

Частота – это количество значений, попавших в каждый интервал.

Расчет выполняем в виде таблицы:

Таблица 1

	Границы интервалов мг/л	Частота ni	Ср.арифм.интервала xi, мг/л	ni ∙ xi*
1	2	3	4	5
1 2 3 4 5 6	18,3 - 19,57 19,57 -20,84 20,84 - 22,11 22,11 - 23,38 23,38 - 24,65 24,65 - 25,92	6 6 6 5 4 3	18,94 20,21 21,48 22,75 24,02 25,29	113,61 121,23 128,85 113,75 96,08 75, 87
	∑	30	∑	649,39

3. Определение расчетных статистических характеристик (мер положения, рассеивания и характеристики формы кривой распределения).

3.1 Определение мер положения:

Целью исследования является определение центра распределения:

Среднее арифметическое значение (основной показатель, входящий в характеристику большинства законов распределения) является первым начальным моментом и вычисляется по следующей формуле:

(4)

где X_ср — среднее арифметическое значение выборки (мг/л);

Х_i — элементы выборки (мг/л).

Если учитывать, что ряд натурных наблюдений вариационный и сгруппированный, то среднее арифметическое значение можно рассчитать по следующей зависимости:

(мг/л) (5)

где ni — частота каждого интервала;

Х_i^*— среднее арифметическое значение каждого интервала (мг/л).

Среднее арифметическое значение каждого интервала рассчитывается, как полусумма границ интервалов.

X_cp= 21,65

Мода (значение имеющее максимальную частоту, т.е. наиболее часто встречаемое значение случайной величины в выборке) определяется по формуле:

(мг/л) (6)

где X₀ - начало модального интервала (мг/л);

n_i — частота модального интервала;

n_{(i - 1)} и n_{(i + 1)} — соответственно частоты предыдущего и последующего за

модальным интервалов.

Модальным называется интервал с наибольшей частотой.

M₀=19,57 мг/л

Медиана (определение серединного элемента выборки):

(мг/л) (7)

где X₀- начало медианного интервала;

Т_{(i - 1)} — сумма частот интервалов предшествовавших медианному;

n_i — частота медианного интервала.

Медианный интервал определяется по серединному элементу вариационного ряда. Если в вариационном ряду четное количество значений, то нет серединного элемента. Необходимо определить два центральных элемента, найти среднее арифметическое, как полу сумма их. Полученное значение подставляется в границы интервалов.

M_e=21,49 мг/л