Правило трех сигм.
Правилом 3-х сигм: для нормального распределения почти все значения случайной величины лежат в интервале (MX - 3σ; MX + 3σ). Проверим, выполняется ли правило 3-х сигм для изучаемой случайной величины. В нашем случае интервал имеет вид: (6,016; 93,822). Правило трех сигм выполняется, так как все значения случайной величины попадают в интервал (6,016; 93,822) (начало первого интервала а=7,5; конец последнего интервала b=92,5).
Вывод: совпадение свойств изучаемой случайной величины со свойствами вероятностей нормального распределения позволяет сделать нам вывод, что, скорее всего предложенная случайная величина распределена нормально.
Метод моментов уточнения неизвестных параметров распределения вероятностей, если закон распределения вероятностей определен (статистическая модель подобрана).
Считаем,
что наша случайная величина распределена
по нормальному закону
.
-?,
-?.
Из
теории вероятностей:
;
;
Из
математической статистики:
;
;
;
=214,16.
Имеем
модель
.
Критерии согласия.
Критерий согласия Колмогорова.
Проверим,
согласуются ли полученные экспериментальные
данные с гипотезой
с нормальным распределением
),
где
=50,
=
=225,
использую критерий согласия Колмогорова.
Имеем ).
Зададим уровень доверия γ=0, 95 и уровень значимости α=0, 05.
.
В Таблице 8 приведено использование критерия Колмогорова для : ).
Таблица 8.
|
интервалы |
частоты |
hi |
Накопительные частоты |
Накопительные относительные частоты |
|
|
1 |
7,5-12,5 |
6 |
До 12,5 |
6 |
0,006 |
0,5-0,49379 = 0,00621 |
0,000137 |
2 |
12,5-17,5 |
9 |
До 17,5 |
15 |
0,015 |
0,5-0,48500= 0,015 |
0,000182 |
3 |
17,5-22,5 |
14 |
До 22,5 |
29 |
0,029 |
0,5-0,43638=0,06362 |
0,034268 |
4 |
22,5-27,5 |
36 |
До 27,5 |
65 |
0,066 |
0,5-0,43319=0,06681 |
0,001021 |
5 |
27,5-32,5 |
46 |
До 32,5 |
111 |
0,112 |
0,5-0,379=0,121 |
0,008652 |
6 |
32,5-37,5 |
86 |
До 37,5 |
197 |
0,199 |
0,5-0,29673=0,20327 |
0,003877 |
7 |
37,5-42,5 |
104 |
До 42,5 |
301 |
0,305 |
0,5-0,19146=0,30854 |
0,003884 |
8 |
42,5-47,5 |
127 |
До 47,5 |
428 |
0,433 |
0,5-0,06749=0,43251 |
0,000688 |
9 |
47,5-52,5 |
136 |
До 52,5 |
564 |
0,571 |
0,5+0,06749=0,56749 |
0,00336 |
10 |
52,5-57,5 |
125 |
До 57,5 |
689 |
0,697 |
0,5+0,19146=0,69146 |
0,005908 |
11 |
57,5-62,5 |
106 |
До 62,5 |
795 |
0,805 |
0,5+0,29673=0,79673 |
0,007926 |
12 |
62,5-67,5 |
81 |
До 67,5 |
876 |
0,887 |
0,5+0,379=0,879 |
0,00764 |
13 |
67,5-72,5 |
51 |
До 72,5 |
927 |
0,938 |
0,5+0,43319=0,93319 |
0,005069 |
14 |
72,5-77,5 |
32 |
До 77,5 |
959 |
0,971 |
0,5+0,43638=0,93638 |
0,034268 |
15 |
77,5-82,5 |
16 |
До 82,5 |
975 |
0,987 |
0,5+0,48500= 0,985 |
0,001842 |
16 |
82,5-87,5 |
8 |
До 87,5 |
983 |
0,995 |
|
0,001149 |
17 |
87,5-92,5 |
5 |
До 92,5 |
988 |
1 |
0,5+0,49767= 0,99767 |
0,00233 |
|
|
|
|
|
|
Наибольшее значение: 0,034268 |
|
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0,5+0,49379
= 0,99379
=
-
гипотетическая
функция распределения вероятности.
Экспериментальные
данные порождают
,
обозначим
ее
– эмпирическая
функция распределения вероятностей
(это накопленные относительные частоты,
это ступенчатая функция).
Статистика критерия Колмогорова:
=
По теореме Колмогорова:
Так
как функция Колмогорова табулирована,
то зная ее значения, находим t.
=
=0,
95
.
Это
значит, что:
Доверительная,
критическая
область
если -верна; малодостоверных событий
почти достоверные если -верна
события
Таким образом, если – верна, то мы разбили числовую ось на 2 области: более вероятную область для - левая и менее вероятную – правая.
В
таблице 8 по значениям эксперимента мы
рассчитали
экспериментальное
= 0,034268
=
=0,043267
Д
оверительная
область критическая область
0,034268 0,043267
Так
как
экспериментальное
попало в доверительную область, то
никаких противоречий с гипотезой
не наблюдается; гипотеза
принимается с уровнем значимости α=1-γ.
Другими словами, гипотеза
на γ
100%
согласуется с экспериментальными
данными, а возможна ошибка 100% согласуется
с экспериментальными данными, а возможна
ошибка α
100%.