Работа 3. Определение коэффициентов влияния отклонений значений устройств ис методом статистического планирования эксперимента

1. Цель работы – изучение методики статистической обработки результатов планируемых экспериментов; определение коэффициентов влияния погрешностей устройств ИС по результатам планируемых экспериментов.

2. Основные теоретические положения. В лабораторной работе «Исследование методов статистического планиро­вания эксперимента» были приведены основные положения для составления плана эксперимента. После составления плана эксперимента непосредственно выполняется сам экспе­римент. Следующий этап - обработка результатов экспери­мента и получение математической модели выходного пара­метра радиоэлектронного устройства, вычисление коэффи­циентов влияния.

2.1. Дисперсия опыта. При проведении активного эксперимента во избежание промахов (грубых ошибок) и для повышения точности каж­дая экспериментальная ситуация реализуется два раза, т. е. проводятся два параллельных опыта. Так как слу­чайные возмущения (температура, напряжение источников питания и т. д.) во время проведения эксперимента чрезвы­чайно малы, то разброс показаний при повторных наблюдениях отсутствует. Это говорит о том, что в ошибке опыта доми­нирует погрешность измерительного прибора. Поэтому можно считать, что ошибка единичного измерения в i-м опыте будет

, (29)

где S_i – ошибка единичного измерения в i-м опыте ; N – число серий опытов ; y_ij – значение выходной величины по i-й строке матрицы планирования ; – среднее значение выходной переменной, полученное из параллельных опытов по i-й строке матрицы планирования; m – число опытов (m=2ⁿ). Тогда дисперсия опыта

D_экс=S_i²=(S_i)². (30)

2.2. Дисперсия воспроизводимости. Для проверки адекватности уравнения регрессии необхо­димо знать величину ошибок всех опытов в матрице плани­рования, характеризуемую дисперсией воспроизводимости. Дисперсия воспроизводимости вычисляется по формуле

(31)

где S_i² – дисперсия опыта (строчная дисперсия); m – число строк матрицы планирования.

2.3.Определение коэффициентов регрессии. Регрессионный анализ дает следующую формулу для вы­числения коэффициентов регрессии в случае ортогональных планов, которые и используются при статистическом планировании эксперимента:

, (32)

г де x_ij – нормированный фактор j-го линейного эффекта или взаимодействия в i-м опыте; i – номер опыта строки матрицы планирования; у_i – значение функции отклика в опыте i-й строки; m – число опытов (строк) в матрице планирования.

2.4. Проверка значимости коэффициентов регрессии. После расчета коэффициентов регрессии необходимо произвести проверку их значимости. Если коэффициент регрессии значим, то влияние линейного эффекта или взаимодей­ствия при данном коэффициенте на функцию отклика суще­ственно и это слагаемое необходимо оставить в уравнении регрессии. В противном случае, т. е. когда коэффициент не значим, линейный эффект или взаимодействие можно не учи­тывать. Проверка значимости каждого коэффициента регрес­сии производится независимо и осуществляется с помощью t-критерия Стьюдента. Величина расчетного t-критерия Стьюдента определяется по формулам (33) и (34):

, (33)

где t_{расч j} – расчетное значение критерия Стьюдента для j-го коэффициента регрессии; b_j – проверяемый коэффициент ре­грессии; S{b_j} – квадратичная ошибка коэффициента ре­грессии

, (34)

где – дисперсия воспроизводимости; m – число строк матрицы планирования.

Если t_табл < t_расч, где t_табл – табличное значение t-крите­рия Стьюдента (табл. 9), проверяемый коэффициент регрессии значим. Для эксперимента 2^5-1 число степеней свободы равно 16, t_табл при этом равно 2,12.

Если коэффициент регрессии не значим, т. е. t_табл > t_расч, в дальнейшем соответствующий член в полиноме не рассма­тривается.

2.5. Проверка адекватности модели. После вычисления коэффициентов регрессии необходимо проверить адекватность созданной модели, т. е. проверить, насколько точно соответствует значение функции отклика, рассчитанное с помощью модели, значениям функции отклика, полученным в эксперименте. Неадекватность модели может быть вызвана, во-первых, неправильным выбором исходной модели и, во-вторых, неправильным выбором интервалов варьирования факторов. Для проверки адекватности модели необходимо вычислить дисперсию адекватности:

, (35)

где – значение функции отклика, вычисляемое по полученной модели для комбинации факторов i-й строки матрицы планирования; y_i – экспериментальное значение функции отклика i-й строки матрицы планирования; φ_ад – число степеней свободы,

φ_ад = m – (c + 1), (36)

где т – число строк в матрице планирования; c – количество коэффициентов регрессии, входящих в уравнение, т. е. количество только значимых коэффициентов.

Проверка адекватности модели производится с помощью F-критерия Фишера. Расчетное значение F-критерия Фишера вычисляется по формуле

F_расч = S_ад²/S²{y}, (37)

где S_ад² – дисперсия адекватности; S²{y} – дисперсия воспроизводимости.

Если F_расч < F_табл, то с соответствующей доверительной вероятностью (0,95 в табл. 8) можем считать модель адекватной исследуемому устройству (процессу, явлению). Табличное значение F-критерия Фишера находится на пересечении столбца со степенью свободы f₁ = φ_ад (вычисляется по формуле (8)) и строки, соответствующей степени свободы S²{у} (для эксперимента 2^5-1 f₂ = 16).

2.6. Определение коэффициентов влияния. Для нахождения коэффициентов влияния перейдем от математической модели функции отклика, в которой факторы являются нормированными величинами, к математической модели с единицами измерения переменных. Для этого вос­пользуемся соотношением, по которому производилось нормирование факторов:

, (38)

где x_j – нормированное значение j-го фактора; Δx_j – интервал варьирования j-го фактора

Δx_j = x_j – x_j0, (39)

где x_j – текущее значение j-го фактора: x_j0 – номинальное значение j-го фактора.

Уравнение регрессии примет вид

, (40)

где b₀, b_j, b_ju – коэффициенты регрессии; Δx_j – интервал варьирования j-го фактора. Необходимо заметить, что в уравнение регрессии входят члены, которые содержат только значимые коэффициенты регрессии. Среднее (номинальное) значение выходного параметра получим из (40), считая, что все Δx_j = 0. Тогда y₀ = b₀ . Обозначим:

. (41)

Тогда уравнение для абсолютной погрешности

, (42)

где A_j, A_ju – коэффициенты влияния абсолютной погрешно­сти; Δх_j – значения абсолютных погрешностей первичных элементов. Разделим уравнение абсолютной погрешности на у₀:

. (43)

Обозначим: . (44)

Тогда уравнение для относительной погрешности примет вид

, (45)

где В_j, В_jи – коэффициенты влияния относительной погрешности; Δx_j /x_j; Δx_u /x_u – значения относительных погрешно­стей первичных элементов.

3. Порядок выполнения работы. В работе эксперимент сводится к установке 5-ти тумблеров В1…В5 в положения, соответствующие строке матрицы планирования, и измерению входного и выходного напряжений. Эта операция выполняется mp раз, где m – число строк в матрице планирования, p – число повторных опытов в каждой строке. В работе необходимо производить два повторных опыта (р = 2).

Рабочей матрицей планирования эксперимента является матрица, построенная в предыдущей теоретической работе «Методы статистического планирования эксперимента».

3.1. Рабочую матрицу планирования внести в сводную ма­трицу планирования по форме 5.

3.2. Включить генератор, приборы и прогреть их в течение 10 минут.

3.3. Подать на вход усилителя сигнал частотой 1000 Гц. Напряжение на входе усилителя должно быть указано преподавателем.

3.4. Провести опыты в соответствии с условиями матрицы планирования, внося в таблицу значения коэффициента усиления.

3.5. По формулам (29) и (30) вычислить дисперсии опытов при k=0,5.

3.6. По формуле (32) рассчитать 16 коэффициентов регрессии.

3.7. По формулам (33) и (34) рассчитать значения t-критерия Стьюдента для каждого из 16 коэффициентов регрессии.

3.8. Провести проверку значимости коэффициентов регрессии по методике, изложенной выше (t_табл = 2,12).

3.9. Записать уравнение регрессии, подставляя численные значения значимых коэффициентов регрессии.

3.10. Вычислить значения функции отклика для каждой строки матрицы планирования, подставляя в полученное уравнение регрессии значения факторов соответствующей строки.

3.11. По формуле (35) вычислить дисперсию адекватности.

3.12. По формуле (37) вычислить расчетное значение F-критерия Фишера.

3.13. Провести проверку адекватности модели выходного параметра. Сделать вывод об адекватности модели.

3.14. По формулам (41) вычислить коэффициенты влияния абсолютной погрешности и записать уравнение абсолютной погрешности выходного параметра.

3.15. По формуле (45) вычислить коэффициенты влияния относительной погрешности и записать уравнение относительной погрешности выходного параметра.

4. Содержание отчета

4.1. Цель работы.

4.2. Принципиальная схема исследуемого изделия.

4.3. Сводная матрица планирования по форме 5.

4.4. Уравнение регрессии.

4.5. Числовые значения коэффициентов влияния абсолютной и относительной погрешностей.

4.6. Уравнения абсолютной и относительной погрешностей коэффициента усиления.

4.7. Выводы о проведенной работе по определению и анализу оценок коэффициентов влияния.

Литература: [6], с. 72. ..85; [12], с. 170... 234

Таблица 7
Фрагмент таблицы случайных чисел
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1	56	66	25	38	64	70	26	27	67	77	40	04	34	34	63	98
2	88	40	52	03	29	65	69	34	34	50	21	74	00	97	23	51
3	87	63	88	23	62	51	07	69	59	02	89	49	14	98	53	67
4	32	25	21	23	15	08	82	34	57	35	22	03	33	48	84	37
5	44	61	88	23	18	01	59	47	64	04	99	59	96	20	30	76
6	94	44	08	67	79	41	62	15	60	11	88	83	24	82	25	56
7	13	24	40	09	65	46	39	61	12	90	62	41	11	59	85	01
8	78	27	84	05	99	85	75	67	80	80	57	05	71	70	21	31
9	42	39	30	02	34	99	46	65	45	15	19	74	35	17	44	02
10	04	52	43	96	38	13	83	80	72	34	20	55	19	49	59	07
11	82	85	77	30	16	32	46	46	30	84	20	68	72	98	94	11
12	38	48	86	88	24	55	46	60	06	90	08	83	98	42	49	34
13	91	19	05	68	22	58	04	63	21	16	23	38	25	43	32	20
14	54	81	87	21	31	40	46	17	65	63	99	71	14	12	64	89
15	65	43	75	12	91	20	36	25	57	32	07	85	06	64	75	27
16	29	03	98	39	71	87	32	14	99	42	10	25	37	30	10	84
17	48	09	36	95	36	20	82	53	32	98	92	68	50	77	17	56
18	23	97	10	96	57	74	07	95	26	44	93	08	43	30	41	04
19	43	97	55	45	98	35	35	69	45	96	80	40	29	39	96	33
20	40	05	08	50	79	58	19	86	26	28	99	24	09	79	24	65
21	45	76	09	35	49	76	23	21	87	90	87	45	33	32	57	09
22	66	97	10	69	02	25	36	43	71	76	00	67	56	12	69	88
23	15	62	38	72	98	03	76	09	30	75	77	80	24	04	80	23
24	54	09	32	12	49	89	33	46	10	45	06	31	33	12	32	11

Таблица 8

Значения F-критерия Фишера (доверительная вероятность 0,95)

f2	f1
	1	2	4	6	8	12	24
3	10,1	9,6	9,1	8,9	8,8	8,7	8,6
4	7,7	6,9	6,4	6,2	6,0	5,9	8,5
5	6,6	5,8	5,2	5,0	4,8	4,7	4,5
6	6,0	5,1	4,5	4,3	4,1	4,0	3,8
7	5,6	4,7	4,1	3,9	3,7	3,6	3,4
8	5,3	4,5	3,8	3,7	3,4	3,3	3,1
9	5,1	4,3	3,6	3,4	3,2	3,1	2,9
10	5,0	4,1	3,5	3,2	3,1	2,9	2,7
12	4,8	3,9	3,3	3,0	2,9	2,7	2,5
14	4,6	3,7	3,1	2,9	2,7	2,5	2,3
16	4,5	3,6	3,0	2,7	2,6	2,4	2,2
18	4,4	3,6	2,9	2,7	2,5	2,3	2,1
20	4,4	3,5	2,9	2,6	2,4	2,3	2,1
25	4,3	3,4	2,8	2,5	2,4	2,2	2,0
30	4,2	3,3	2,7	2,4	2,3	2,1	1,9
35	4,1	3,3	2,6	2,4	2,2	2,0	1,8
40	4,1	3,2	2,6	2,3	2,2	2,0	1,8
50	4,0	3,2	2,6	2,3	2,1	1,9	1,7

Таблица 9

Значение t-критерия Стьюдента (доверительная вероятность 0,95)

Число степеней свободы	Значение t-критерия	Число степеней свободы	Значение t-критерия	Число степеней свободы	Значение t-критерия
1	12,71	9	2,26	17	2,11
2	4,30	10	2,23	18	2,10
3	3,18	11	2,20	19	2,09
4	2,78	12	2,18	21	2,08
5	2,57	13	2,16	23	2,07
6	2,45	14	2,14	25	2,06
7	2,36	15	2,13	27	2,05
8	2,31	16	2,12	40	2,02