Законы сохранения для сплошной среды

В тех случаях, когда постоянная по составу часть вещества обладает и постоянной суммой значений однородных физических величин (это – аддитивные физические величины), характеризующих все его материальные частицы, можно говорить о том, что эта суммарная величина сохраняется во времени для данной «порции» вещества. Описывая вещество как сплошную среду, мы можем в этом случае считать неизменным во времени интеграл от её плотности распределения по соответствующему объёму сплошной среды.

Из теоремы переноса следует, что полная (субстанциональная) производная по времени от соответствующих объёмных интегралов равна нулю.

В эйлеровых переменных это задаёт для любого объёма пространства, заполненного движущейся сплошной средой, условие:

Это значит, что и локально (в смысле приближения сплошной среды) для сохраняющейся физической величины с плотностью распределённой в сплошной среде справедливо уравнение:

Например, для плотности массы ρ:

Это – уравнение непрерывности (баланса массы) в форме Эйлера.

Лагранжева форма уравнения баланса массы принимает вид

Полезно записать, в частности, что для стационарного (установившегося) в эйлеровых переменных движения сплошной среды

а для несжимаемой среды

В многокомпонентной среде :

- плотность k-го компонента. - концентрация k-го компонента, диффузионный поток k-го компонента относительно движения центра масс, - приращение массы k-го компонента за счет химических реакций из других, - скорость j-й реакции, -стехиометрический коэффициент k-го вещества в j-й реакции.

Известны, например, фундаментальные физические величины, аддитивные и сохраняющиеся в замкнутых системах в механике. Помимо массы это-полный механический импульс, в классической (нерелятивистской, неквантовой) механике и полный момент импульса любой такой системы. Для сплошной среды, очевидно, следует ввести объёмные плотности этих величин, которые можно выразить в виде произведения массовой плотности на макроскопическую локальную скорость сплошной среды (плотность импульса) и векторное произведение радиус-вектора «точки» сплошной среды на плотность импульса среды в её окрестности, тогда:

Скорость изменения этих величин определяется для физических частиц вещества действующими на них силами и моментами сил. В классической механике, благодаря третьему закону Ньютона, полный импульс и полный момент импульса незамкнутой системы взаимодействующих частиц изменяется только за счёт действия внешних сил – то есть сил взаимодействия с телами, не входящими в эту систему. Это – «дальнодействующие» силы, такие, как гравитационные, электромагнитные и т.п., а для ограниченного объёма сплошной среды – ещё силы взаимодействия с частицами, находящимися вблизи элемента границы области, создадут (векторную!) плотность поверхностных сил

Используя теорему переноса можно получить:

то есть при непрерывных деформациях (движениях) сплошной среды справедливо тождество

Следовательно:

В дальнейшем учтём, что , .

Об основных законах сохранения в классической механике.

Как было сказано ранее, для описания кинематики (движения) физических тел можно воспользоваться системой отсчёта, связанной с любым материальным телом, но использовать законы динамики в форме привычных законов Ньютона, сформулированных для ИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМЕ ОТСЧЕТА (ИСО), можно только в таких системах. Это значит, что динамические параметры для частиц сплошной среды, такие как импульс, момент импульса, кинетическая и потенциальная энергия и пр. должны определяться с точки зрения некоторой ИСО, с которой связана эйлерова система координат. В этой системе должны быть описаны и все физические связи между динамическими величинами. К определённым именно таким образом сохраняющимся динамическим величинам можно применять выведенную выше теорему переноса.

Законы сохранения механического импульса и момента импульса, выполняющиеся в любой для любого объёма сплошной среды принимают (с использованием доказанного тождества) интегральный вид:

, .

Согласно гипотезе сплошности каждая частица сплошной среды представляет собой «макроскопически бесконечно малый объём» δΩ , содержащий очень большое количество N реальных микроскопических физических структурных элементов вещества, например, атомов и молекул, общей массой δm (в приближении сплошной среды мы считаем эту массу непрерывно распределенной по этому объёму с плотностью ρ=δm/δΩ).

Пространственное положение «частицы» сплошной среды – это положение центра масс микрочастиц, содержащихся в её объёме, который можно считать достаточно малым с макроскопической точки зрения:

, где

Скорость центра масс микрочастиц – это скорость заполненного ими элементарного объёма (частицы) сплошной среды:

, а для каждой микрочастицы её скорость можно представить в виде , где - скорости микрочастиц по отношению к центру масс элементарного объёма сплошной среды, и

Кинетическая энергия элементарного объёма сплошной среды (в классической механике) – это кинетическая энергия всех микрочастиц, содержащихся в нём:

, так как .

Второе слагаемое в полученном выражении для кинетической энергии не зависит от движения центра масс элементарного объёма сплошной среды относительно выбранной системы отсчёта. Оно определяется только скоростями движения микрочастиц внутри элементарного объёма вещества относительно цента масс этого объёма и не зависит от V. Обозначая эту часть кинетической энергии , можно записать: .

Потенциальную энергию микрочастиц в этом элементарном тоже можно представить в виде суммы энергии их взаимодействия между собой, зависящей от взаимного расположения частиц, и потенциальной энергии взаимодействия микрочастиц с телами, не содержащимися внутри этого элементарного объёма которую можно рассматривать как функцию положения центра массы элементарного объёма .

Полная механическая энергия элементарного объёма, который рассматривается как «частица» сплошной среды, составляет

.

Слагаемое в скобках, очевидно, не зависит от движения центра массы элементарного объёма среды в выбранной системе отсчёта, а определяется внутренним взаимодействием и движением микрочастиц по отношению к системе отсчёта, в которой покоится центр его массы. Эта энергия называется термодинамической внутренней энергией вещества (в действительности её происхождение не до конца исчерпывается приведённым элементарным описанием с помощью классической механики, но сам факт её существования верен).

В приближении сплошной среды мы должны считать энергию микрочастиц в элементарном объёме распределённой по нему непрерывно с плотностью . Поскольку в сплошной среде , то

Первое слагаемое соответствует объёмной плотности кинетической энергии частицы сплошной среды, движущейся с наблюдаемой (макроскопической) скоростью V, второе – объёмной плотности потенциальной энергии во «внешних потенциальных полях», а третье – объёмной плотности термодинамической внутренней энергии.

Замечание. Измеряемыми (и наблюдаемыми) величинами являются не абсолютные значения энергии, а изменения энергии. Поэтому все такие величины (в классическом случае) определены с точностью до некоторых постоянных слагаемых. Например, в однородном «гравитационном поле» g условно выбрав некоторую точку как точку, где гравитационная потенциальная энергия равна нулю, можно записать . То есть без учёта несущественной аддитивной константы в однородном ( ) классическом гравитационном поле можно представить в виде

ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Поверхностные интегралы в выражениях для скорости передачи импульса и момента импульса элементу объёма сплошной среды характеризуют внутренние взаимодействия между частицами сплошной среды по разные стороны поверхности, ограничивающей этот объём. Можно описать его, выразив поверхностную плотность тих сил, зависящих от ориентации элемента площади – единичного вектора нормали , с помощью тензора напряжений (это тензор второго ранга, симметричность которого может быть доказана):

С помощью теоремы Остроградского-Гаусса получается:

В последнем интеграле благодаря симметричности тензора справедливо тождество

То есть

УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Поскольку полученные интегральные выражения должны быть применимы к любому элементу объёма сплошной среды, то должны выполняться условия

Причём если выполняется первое из уравнений, то второе – выполняется тождественно при условии, что тензор напряжений симметричен.

В декартовом базисе (x, y, z) матрицу компонентов тензора напряжений можно представить в виде, предложенном Теодором фон Карманом.

нормальные напряжения касательные напряжения Вектор напряжений (поверхностной плотности сил напряжения) на пл.

В собственном нормированном и ортогональном базисе тензор напряжений имеет вид В нём главные напряжения.