Приложение п4

Преобразование комплексных чисел.

Согласно теории комплексных чисел одно и тоже комплексное число согласно формуле Эйлера можно записать в тригонометрической, алгебраической или полярной формах :

1. Комплексное число в алгебраической форме записи имеет вид

, (П4.1)

где - действительная (вещественная) часть комплексного числа,

- мнимая часть комплексного числа.

Из тригонометрической формы переводится с помощью следующих формул :

, (П4.2)

. (П4.3)

2. Комплексное число в показательной (полярной) форме записи имеет вид

, (П4.4) где – действительное значение комплексного числа,

- амплитудное значение комплексного числа,

- аргумент комплексного числа.

Из алгебраической формы переводится с помощью следующих формул :

, (П4.5)

. (П4.6)

3. Комплексное число в тригонометрической форме записи имеет вид

, (П4.7)

где

- действительная (вещественная) часть комплексного числа;

- мнимая часть комплексного числа;

При выполнении операций сложения и вычитания комплексных чисел удобна алгебраическая и тригонометрическая форма записи комплексного числа. При выполнении операций умножения, деления, возведения в степень комплексных чисел удобна показательная форма записи комплексного числа. В случае, если требуется рассчитать число в несколько этапов, состоящих как из операций сложения(вычитания) , так и деления(умножения), то между этапами необходимо переводить комплексное число из одной формы в другую.

При использовании операций с комплексными числами могут возникать комбинации, которые можно тождественно упростить :

или , (П4.8)

или , (П4.9)

; (П4.10)

; (П4.11)

; (П4.12)

; (П4.13)

. (П4.14)

Из формул (П4.8)… (П4.14) видно, что умножение комплексного числа на +j соответствует повороту вектора на комплексной плоскости на угол 90⁰ против вращения стрелки часов, а умножение на –j (деление на j) – повороту по часовой стрелке на прямой угол.