Свойства дисперсии.

1. - Дисперсия постоянной величины равна нулю

2. Если все значения вариант увеличить в k число раз и из новых значений признака исчислить дисперсию, то она будет больше искомой дисперсии в k² раз:

3. Если все варианты уменьшить в k число раз и для нового статистического ряда вычислить дисперсию, то она будет меньше искомой дисперсии в k² раз:

4. Если все варианты увеличить или уменьшить на какое-либо постоянное число А, то искомая дисперсия будет равна дисперсии нового полученного статистического ряда:

5. Если исчислять среднеквадратичное отклонение или дисперсию от любой величины А в той или иной степени отличающийся от средней арифметической, то он всегда будет больше среднего квадрата отклонений исчисленного от средней арифметической на определенную величину , то есть искомая дисперсия может быть найдена следующим образом:

Правила сложения дисперсий.

Если в результате статистического наблюдения, сводки и группировки первичная совокупность разделена на группы однородные по своим условиям, то есть разделена по признаку факторов и для каждой группы, а также для всей совокупности исчислены групповые или частные средние и общая средняя для всей совокупности, тогда становится возможным исчислять три вида дисперсий:

1. - внутрисменную,

2. - межгрупповую,

3. среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия характеризует колеблемость признака и вычисляется по стандартной формуле, отражая тем самым вариацию признака под влиянием всех его условий

Межгрупповая дисперсия или дисперсия групповых средних отражает систематическую вариацию, то есть различается в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием одного условия, то есть признака-фактора, положенного в основу группировки

- средняя арифметическая, рассчитанная для каждой группы

- средняя арифметическая всей совокупности

- числитель совокупности

Средняя дисперсия из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, то есть ту часть вариации признака, которая происходит под влиянием других неучитываемых факторов и не зависит от условий группировки, то есть признака фактора, положенного в его основу

- дисперсия признака в каждой отдельной группе.

Указанные три вида дисперсии связанны между собой следующим соотношением:

Формула (22) носит название в статистике закон или правило сложения дисперсий, опираясь на который можно определить какая часть или доля общей дисперсии складывается под влиянием того условия или признака фактора, положенного в основу группировки или какая часть или доля определяет случайную вариацию признака.

Статистические индексы

Под индексами в статистике понимается численная величина, которая характеризует результат сравнения уровней двух одноименных показателей, взятых во времени, то есть сравнение в динамике, или взятых в пространстве.

Под термином сравнение подразумевается математический оператор деления index (лат. – изменение).

В статистике различают индексы количественных показателей и качественных показателей.

К индексам количественных или объемных показателей относятся, например, индексы количества выпущенной продукции, грузооборота, товарооборота и другие, размерность которых характеризуется абсолютными величинами.

К индексам качественных показателей в экономической статистике относятся индексы цен, индексы себестоимости продукции, индексы производительности труда и другие характеризующие изменения общественного явления, уровни которого даются в виде средних или в виде относительных величин. Если индексы характеризуют изменения отдельных частей или элементов сложного общественного явления, то рассчитываются величины, носящие в статистике название коэффициентов роста или индивидуальных индексов. Если же индексы характеризуют изменение изученного сложного общественного явления в целом, то исчисляется т. н. общие или сводные индексы. Чтобы рассчитать индивидуальный индекс какого-либо показателя необходимо его уровень, взятый в отчетном периоде разделить на уровень, вз.числяется т. характеризуют изменение из уч-го сложного общего явленияв целом, то я общественного явленияуется абсолютными веятый в базисном периоде или в периоде принятом за базу сравнения. Например, если посевные площади в 1990 году составляли 100,5 тыс. га в РК, а в 2000 году 83,2 тыс. га. Тогда индекс посевных площадей может быть рассчитан согласно вышесказанного как (1)

,

где - индивидуальный индекс показателя

и - соответственно показатель, взятый в отчетном и базисном периодах.

Данная формула построения индивидуального индекса является универсальной, то есть для показателя « » она выглядит так:

Для показателя «z»:

Для нашего примера; =0,827860696

Численная величина 0,828 показывает, что абсолютный уровень посевных площадей в РК в 2000 году составил 0,828 по сравнению с соответствующим уровнем 1990 года или был меньше в 0,828 раз.

В статистике приняты следующие обозначения при расчетах индивидуальных и общих индексов.

Р – цена,

- индивидуальный индекс цен,

- количество,

- индивидуальный индекс количественного или объемного показателя,

- себестоимость единицы продукции,

- индивидуальный индекс себестоимости.