2.4. Приклад виконання завдання 2:

Вихідні дані:

Строчка даних N=4, схема n=10: R₁ = 40 Ом; R₂ = 30 Ом; R₃ = 15 Ом; R₄ = 20 Ом; L₁ = 0,12 Гн; L₂ = 0,25 Гн; L₃ = 0,15 Гн; L₄ = 0,10 Гн; C₁ = 200 мкФ; C₂ = 250 мкФ; M₁₂ = 0,10 Гн; M₁₃ = 0,10 Гн; M₂₄ = 20 В; ƒ = 10 В;

Інші вихідні дані обчислюємо відповідно до наступних виразів:

1.

Розрахунок розгалуженого кола при наявності взаємної індуктивності можна вести, складаючи рівняння по першому й другому законах Кірхгофа. При цьому необхідно враховувати, що струм у будь-якій гілці залежить не тільки від ЕРС джерела, яке знаходиться в ній і від потенціалів тих вузлів, до яких вона приєднана, але також і від струмів інших гілок, які наводять ЕРС взаємної індукції.

Перший закон Кірхгофа встановлює, що алгебраїчна сума струмів гілок, що сходяться в один вузол, дорівнює нулю. Він застосовується до незалежних вузлів, тобто таких, які відрізняються хоча б однією новою гілкою.

При складанні рівнянь за другим законом Кірхгофа ЕРС взаємної індукції звичайно враховуються як відповідні напруги. Знак комплексної напруги на елементі k визначається на підставі зіставлення напрямку обходу елемента k і позитивного напрямку струму в елементі s. Якщо ці напрямки щодо однойменних затискачів однакові, то напруга дорівнюватиме . У противному випадку напруга дорівнюватиме .

Отже, другий закон Кірхгофа .

Визначаємо кількість рівнянь за законами Кірхгофа.

Число гілок з невідомими струмами Г = 3,

отже, число рівнянь n = Г = 3.

Кількість вузлів у схемі Вз = 2.

Тоді: кількість рівнянь за І законом Кірхгофа n = Вз – 1 = 2 – 1 = 1;

кількість рівнянь за ІІ законом Кірхгофа n_ІІ = n – n_І = 3 – 1 = 2.

Складемо систему рівнянь за законами Кірхгофа.

Представимо цю систему рівнянь у матричній формі:

2.

Для розрахунку режиму складного електричного кола можна обмежитись спільним розв’язанням лише незалежних рівнянь, складених на підставі другого закону Кірхгофа, скориставшись методом контурних струмів.

При цьому перший закон Кірхгофа, звичайно, завжди задовольняється.

Складемо систему рівнянь за методом контурних струмів.

Кількість рівнянь у системі рівняється числу незалежних контурів і дорівнює 2.

Представимо цю систему рівнянь у матричній формі:

3.

Визначаємо необхідні числові значення реактивних опорів.

, де – кутова частота.

Підставимо вихідні дані. Отримуємо:

Підставляючи числові значення, отримуємо матрицю для розрахунку значень комплексних струмів за допомогою ПК.

Виконаємо розрахунок як системи рівнянь, складеної за законами Кірхгофа, так і системи рівнянь, складеної за методом контурних струмів.

Розрахунок виконаний на ПК за допомогою програми MathCAD 2001 Professional.

Розрахунок системи рівнянь, складеної за законами Кірхгофа:

Представимо систему рівнянь у такому вигляді:

, де:

матриця коефіцієнтів системи

матриця вільних членів

Підставляючи числові значення, отримуємо:

Розв’язок будемо шукати у вигляді

Розрахунок виконуємо за допомогою засобів САПР MathCAD 2001 Professional

Отримуємо значення струмів:

– у комплексній формі:

– у показовій формі:

Розрахунок системи рівнянь, складеної за допомогою методу контурних струмів:

Представимо систему рівнянь у такому вигляді:

, де:

­ – матриця коефіцієнтів системи

­ – матриця вільних членів

– матриця невідомих контурних струмів

Підставляючи числові значення, отримуємо:

Розв’язок будемо шукати у вигляді

Розрахунок виконуємо за допомогою засобів САПР MathCAD 2001 Professional

Струми у гілках знаходимо через контурні струми:

4.

Таким чином, ми отримали наступні значення комплексних струмів у гілках.

Запишемо миттєві значення:

5.

Приймемо Тоді послідовно обходимо зовнішній контур і розраховуємо потенціал кожної точки.

Виконуємо розрахунок за допомогою MathCAD 2001 Professional

Перевіримо правильність розрахунку:

За результатами розрахунку в масштабі побудуємо векторну діаграму (наведено в кінці)

6.

Запишемо миттєві значення ЕРС е₂ і струму і₂:

Графіки e₂(t) і і₂(t) наведені нижче.

t:=0,0.0001…0.030

7.

Знаходимо показання ватметру

8.

Складемо баланс потужностей

Знаходимо напругу на джерелі струму:

Тепер знаходимо потужність джерела і споживача енергії:

Потужність джерела:

Потужність споживача:

Як бачимо, , робимо висновок, що баланс потужностей виконується.

9.

Напруга між верхнім та нижнім вузлами схеми дорівнює:

Виконуємо розрахунок за допомогою MathCAD 2001 Professional

Токи в гілках визначимо згідно закону Ома:

Отримуємо значення струмів:

– у комплексній формі:

– у показовій формі:

10.

Вважаючи, що індуктивний зв’язок між котушками відсутній, знаходимо струм за допомогою метода еквівалентного генератора.

Представимо частину схеми, зовнішню стосовно навантаження у вигляді двополюсника.

Струм знаходимо відповідно закону Ома: де:

– напруга холостого ходу на затискачах розімкнутої гілки.

Ом – опір навантаження.

40 + j(37,68 – 15,924 – 12,739) = 40 + j9,017 Ом – еквівалентний опір.

Знаходимо напругу холостого ходу:

.

Тоді знаходимо струм :

=

= – 0,118 – j0,306 A

11.

Замінимо послідовну сполуку елементів навантаження на паралельну.

См – активна провідність;

См – реактивна провідність.

Щоб дорівнював одиниці, необхідне дотримання умови .

, визначимо величину шуканої ємності:

.

Визначимо .

(тому що , ).

Тоді визначаємо: