4. Понятие модуля. Решение простейших уравнений и неравенств с неизвестным под знаком модуля.

Модуль и его свойства.

1. Определение модуля числа:

.

2. Геометрически есть расстояние от точки числовой оси до начала отсчета – точки

.

3. есть расстояние между точками и числовой оси.

4. Модуль произведения, частного и степени.

.

5. .

Уравнения, содержащие знак модуля.

Уравнения, содержащие знак модуля, можно условно классифицировать по видам, в зависимости от расположения знака модуля. Рассмотрим некоторые виды таких уравнений и методы их решения.

1. Уравнения вида . Наиболее рациональный путь решения – переход к совокупности

2. Уравнения вида можно двумя способами заменить равносильными условиями: 1)

2)

Выбор способа замены зависит от того, какое из неравенств или решить легче.

3. Уравнения вида . Их решение состоит в возведении обеих частей уравнения в квадрат, так как по свойству модуля . Тогда

4. Уравнения вида . Уравнения этого вида можно решать, используя замену .

Пример. Решить уравнение

Решение: Исходное уравнение равносильно совокупности:

Решая эти уравнения, получим корни .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Данное уравнение равносильно системе:

.

Решая эти уравнения, получим корни . Выберем из них те, которые удовлетворяют условию .

Ответ: .

Пример. Решить уравнение

Решение: Поскольку в уравнении функция, стоящая под знаком модуля, проще, то лучше записать уравнение, как совокупность двух систем:

.

Уравнение из первой системы совокупности корней не имеет. Решая уравнение, находим, что

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ:

Пример. Решить уравнение

Решение: Так как , данное уравнение примет вид:

Сделаем замену: получим новое уравнение: , которое имеет два положительных корня . Значит, , откуда .

Ответ:

Дополнительные задачи:

1. Решите уравнение .

Решение: .

Ответ: .

2. Найти сумму целых решений уравнения .

Решение: .

Целое решение только одно: 4, поэтому сумма решений равна значению единственного целочисленного решения: 4.

Ответ: .

3. Найти сумму всех корней уравнения .

Решение:

Сумма корней равна .

Ответ: .

4. Решите уравнение .

Решение:

.

Ответ: .

5. Решите уравнение .

Решение: заметим, что , решим уравнение:

.

Ответ: .

6. Укажите наибольший корень уравнения .

Решение: Расставим знаки выражений, стоящих под знаком модуля, на промежутках:

Теперь легко раскрыть модули и получить соответствующие уравнения на промежутках:

1) .

2)

3) .

Отсюда следует, что наибольшим корнем является число 2.

Ответ: .

7. Решите уравнение .

Ответ: .

Для самостоятельного решения:

Решить уравнения:

Неравенства, содержащие знак модуля.

Перечислим некоторые частные случаи неравенств, содержащих знак модуля, и рассмотрим методы их решения.

1. Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно системе

В частности, неравенство при любом равносильно системе:

или

При неравенство не имеет решений.

2. Неравенство вида , где и - некоторые функции, равносильно совокупности:

В частности, неравенство равносильно совокупности:

При неравенство выполняется для всех при которых функция имеет смысл.

3. Неравенство вида равносильно неравенству . Преобразуя последнее неравенство, получим:

,

которое решается методом интервалов.

4. Неравенство вида можно решать, используя замену .

Пример. Решить неравенство

Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:

Ответ: .

Пример. Решить неравенство

Решение: Запишем систему, равносильную исходному неравенству:

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Приведем исходное неравенство к виду :

Перейдем к равносильной системе:

,

Имеем:

Решение первого неравенства системы является любое , а решением второго является или

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Запишем совокупность, равносильную исходному неравенству:

Решая первое неравенство методом интервалов, получаем или .

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Из свойств модуля следует, что неравенство равносильно неравенству . Поэтому исходное неравенство равносильно , откуда .

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Неравенство равносильно исходному. В полученном неравенстве перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов:

.

Так как для всех , то полученное неравенство равносильно . Решая его методом интервалов, получаем ответ.

Ответ: .

Пример. Решить неравенство .

Решение: Введем замену . Тогда исходное неравенство имеет вид:

.

Вернемся к переменной и получим следующую совокупность:

Ответ: .

Дополнительные задачи:

1. Решите неравенство .

Решение:

.

Ответ: .

2. Решите неравенство .

Решение: воспользуемся следующим условием равносильности:

.

.

Ответ: .

Для самостоятельного решения:

1. Решить неравенство:

.

Ответ: .

2. Решить неравенство:

Ответ: .

3. Решить неравенство:

Ответ: .

5. Понятие логарифма, свойства логарифмов, логарифмические преобразования. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмирование и потенцирование. Простейшие показательные и логарифмические уравнения.

Определение: Логарифмом данного числа по данному основанию называется показатель степени , в которую нужно возвести основание , чтобы получить данное число . .

Определение: Десятичным называется логарифм по основанию 10 и обозначается . Натуральным называется логарифм по основанию и обозначается .

Свойства логарифмов.

Пусть .

1. Основное логарифмическое тождество:

.

2. Логарифм произведения, частного и степени:

;

четное целое.

3. Формула перехода к новому основанию. Пусть Тогда:

, в частности, , при .

Кроме того, .