Хід роботи

Побудуйте блок-схему для знаходження значення інтегралу вказаної функції (згідно варіанту) на інтервалі [-5; 5].

Метод підрахунку обирається студентом довільно.

Варіант	Функція	Варіант	Функція	Варіант	Функція
	У=х3-4х+5		У=x3+2x4+12		У=2x*sin(x-2)
	У=3х5-6х-4		У=sin(x)+cos(1-x)		У= х2+3.5sin(x)
	У=3cos(3x-14)+3		У=4sin(x-2)+6		У=5sin(x-2)+5
	У=х7-3sin(x)		У=3х3-3х-14		У=3-x3+4x2
	У=x+5x3-x2		У=x4-3x2-14		У=x2-sin(2x-4)
	У=2sin(x-4)+13		У=4cos(x-5)+9		У=3x4-21x+4
	У=x+3-2x3		У= 3х3-5х+11		У=x3-x+3x2
	У=1.5х-5.6х4		У=5x3-cos(x)		У=4cos(2x-5)+10
	У=3x2-5x+21		У=4x+cos(x-3)		У=5х3-2sin(x)
	У=cos(x+4)-sin(3x)		У=3x4-5x+4		У=sin(3x)-cos(x)

Контрольні запитання.

1. Дайте характеристику основним методам обрахунку значень інтегралу функції на заданому проміжку.

2. Який із вище перерахованих методів має найменшу часову складність?

3. Який із вище перерахованих методів має найменшу ємнісну складність?

Практична робота №6 Тема: Методи мінімізації функції.

Мета Ознайомитися з методами мінімізації (максимізації) функції декількох змінних.

Теоретичні відомості

Необхідні умови точки локального мінімуму:

, .

У матричному вигляді необхідні умови точки локального мінімуму запишуться в наступному вигляді:

,

де = - градієнт функції.

Таким чином, в точці локального мінімуму градієнт функції дорівнює нулю.

Точка, для якої виконується рівність називається стаціонарною точкою функції .

Геометрично ця умова означає, що гіперплощина, дотична до функції в точці оптимуму, паралельна гіперплощині визначення цієї функції. Так, для функції однієї змінної це – дотична лінія, паралельна осі х; для функції два змінних – плоскість, паралельна плоскості х1 і х2 .

На рис. 1 приведені різні приклади стаціонарних точок для функції однієї змінної. Стаціонарна точка не обов'язково має бути екстремальною. Прикладом такої крапки може служити точка перегину функції.

Рис. 1. Приклади стаціонарних точок функції однієї змінної

На мал. 2 приведена функція двох змінних

.

Функція зображена у вигляді еквіпотенціальних кривих на координатній плоскості Як видно з малюнка, функція має чотири стаціонарні точки, в кожній з яких її приватні похідні дорівнюють нулю, тобто виконується необхідна умова локального екстремуму. При цьому одна стаціонарна точка, розташована в першому квадранті, відповідає точці локального мінімуму функції. Інша, симетрична першою і розташована в третьому квадранті, відповідає точці локального максимуму функції. Дві стаціонарні точки, що залишилися, розташованими в другому і четвертому квадрантах і симетричні між собою.

х₁

1

-1

-2

2

3

-3

3

--3

-1,5

1,5

у = - 9

у = - 6

у = - 6

у = - 3

у = 0

у = 3

у = 6

у = 12

у = 18

у = - 18

у = - 12

у = - 6

у = - 3

у = 0

у = 3

у = 6

у = 9

Рис. 2. Еквіпотенціальні криві і стаціонарні точки функції двох змінних

Рівність нулю градієнта функції – це необхідна, але недостатня умова для існування локального екстремуму.

Визначимо достатні умови для точки локального мінімуму.

Екстремальна точка завжди є стаціонарною.

Розкладемо функцію в околиці стаціонарної точки в ряд Тейлора, обмежуючись квадратичними членами розкладання:

,

де R  частина ряду розкладання, яка залежить від приросту вектора змінних третього і більшого порядку; індекс « » при похідних є ознака їх обчислення в стаціонарній крапці .

Дане співвідношення можна записати в наступному вигляді:

.

Перепишемо вираз в матричному вигляді:

,

де Н  матриця Гесса (симетрична матриця порядку елементами якої є другі похідні

;

Рішення задачі безумовної оптимізації методом Ейлера

Всі методи рішення задачі безумовної оптимізації можна розділити на два класи: класичні і прямого пошуку.

Класичні методи, які в літературі ще називають непрямими, точними або непрямими, дозволяють знайти оптимальну крапку непрямим шляхом – через вирішення системи рівнянь, в загальному випадку нелінійної. При цьому, якщо вирішення системи проводиться не наближеними методами, то набувають точних значень координат екстремальних точок функції, що оптимізується.

Методи прямого пошуку, які також називають просто прямими, пошуковими, покроковими, ітераційними, обчислювальними, наближеними або некласичними, вирішують задачу безумовної оптимізації шляхом поступового поетапного наближення до точки екстремуму. Рішення отримують наближеним, але з наперед заданою точністю.

Розглянемо класичний метод рішення задачі безумовної оптимізації, який носить назву метод Ейлера. Метод дозволяє виявити всі екстремальні точки функції (як локальні мінімуми, так і локальні максимуми), що оптимізується, і таким чином дати загальне уявленні про поведінку гіперповерхні функції у гіперпросторі .

Метод Ейлера заснований на використанні необхідних і достатніх умовах існування екстремуму.

Алгоритм методу полягає в наступному.

1. Беруть часткові похідні функції, що оптимізується по кожній змінній хi і, відповідно до необхідної умови для точки локального екстремуму, прирівнюють нулю: ;

2. Вирішують будь-яким відомим методом отриману систему, що складається з n в загальному випадку нелінійних рівнянь. Корені системи, якщо вони існують, є стаціонарними точками функції оскільки в них всі приватні похідні дорівнюють нулю.

3. Беруть всі другі приватні і змішані похідні від функції і обчислюють їх в кожній стаціонарній крапці. По обчислених похідних формують матрицю Гесса для кожної стаціонарної крапки.

4. Досліджують характер матриць Гесса і встановлюють вид відповідних стаціонарних точок:

• при позитивній визначеності матриці визначена точка мінімуму;

• при негативній – локальний максимум;

• при напіввизначеності – залишають стаціонарну точку для додаткових досліджень;

• при невизначеності – сідловою точкою.

5. Обчислюють значення функції у кожному локальному мінімумі. Потім шляхом порівняння обчислених значень знаходять абсолютний мінімум функцій.