11.2. Основные правила булевой алгебры

Основные правила и теоремы булевой алгебры приведены в табл. 11.3. Убедиться в их справедливости нетрудно методом подстановки в правую и левую части уравнений всех возможных комбинаций переменных и проверкой выполнения равенства для каждой из комбинаций. Заметим, что проделать это совсем не трудно, так как в случае двух переменных таких комбинаций всего четыре, а в случае трех переменных - восемь.

Таблица 11.3

Многие законы, например ассоциативности, дистрибутивности и другие, можно обобщить на случай большего количества переменных. Законы инверсии также являются следствием более общего правила Шеннона: если имеется функция

,

то существует функция

,

причем от лишь тем, что в ней все знаки логического умножения (конъюнкции) заменены на знаки логического суммирования (дизъюнкции), а все знаки логического суммирования - на знаки логического умножения.

Пользуясь соотношениями табл. 11.3, можно преобразовывать и упрощать выражения булевой алгебры, однако при проектировании цифровых схем к такому приему прибегают редко, так как разработаны удобные и эффективные методы преобразования решений булевой алгебры при помощи карт и диаграмм минимизации.

Любому логическому выражению Y=f(А,В,С,...) можно поставить в соответствие таблицу состояния, в которую заносятся значения Y при всех возможных комбинациях переменных. Для решения обратной задачи - нахождения булевой функции по таблице состояний - используют одну из следующих теорем:

- любая логическая функция представима в виде логической суммы простых конъюнкций на тех наборахпеременных, при которых функция принимает значение 1;

- любая логическая функция представима в виделогического произведения простых дизъюнкций на тех наборах переменных, при которых она принимает значение 0.

Таблица 11.4

Таблица 11.5

Что такое простые конъюнкции и простые дизъюнкции, легко уяснить из табл. 11.4, 11.5. Первые представляют собой логическое произведение всех переменных со знаком инверсии или без него, причем каждый знак инверсии относится только к одному символу и ставится над переменными, имеющими в данном наборе значение 0. Простые дизъюнкции - логические суммы, каждая из которых также включает все переменные, со знаком инверсии или без него, причем инвертируются те переменные, которые в данном наборе равны 1.

Пользуясь правилами табл. 11.3, выражения для одних и тех же функций, полученных по первой и второй теоремам, можно привести к одинаковому виду, поэтому в дальнейшем рассмотрим синтез функций и упрощение (минимизацию) полученных выражений, пользуясь только первой теоремой, оставив альтернативную возможность для самостоятельного изучения.

11.3. Комбинационные схемы

Как упоминалось в 11.1, сигнал на выходе комбинационной схемы (КС) однозначно определяется комбинацией сигналов на входах. Действие КС описывается таблицей состояний или выражениями булевой алгебры.

Синтез КС по таблице состояний состоит в нахождении булевой функции, описывающей данную КС по теореме, сформулированной выше, минимизации ее и, наконец, составлении искомой схемы по минимизированному логическому выражению. Процедура минимизации упрощается, если воспользоваться диаграммами минимизации.

Диаграмма минимизации (рис. 11.2) содержит 2ⁿ клеточек. Каждая из них соответствует вполне определенной простой конъюнкции. Нетрудно заметить, что в клеточках, имеющих общую границу, а также в крайних клеточках одной и той же строки и в верхней и нижней клеточках одного и того же столбца конъюнкции отличаются лишь знаком инверсии одной переменной.

Рис. 11.2. Диаграмма минимизации для двух, трех и четырех переменных

Процедура получения минимизированного выражения по заданной таблице состояний заключается в следующем:

- если на наборе переменных данной простой конъюкции функция принимает значение 1, в соответствующую ей клеточку заносится единица. Остальные клеточки оставляют пустыми;

- обводят контурами прямоугольники из соседних клеточек, содержащие 2ⁿ единиц, стремясь получить контуры максимальной величины. Соседними считаются также верхняя и нижняя клеточки столбца и крайние клеточки одной и той же строки. Контуры могут перекрываться;

-- искомое минимизированное выражение есть логическая сумма укороченных конъюнкций контуров, охватывающих все единицы.

Вместо полной таблицы состояний можно ограничиться перечислением десятичных эквивалентов двоичных чисел, соответствующих тем наборам переменных, при которых функция принимает значение 1. Пусть, например, требуется построить четырехвходовую комбинационную схему, которая при наборах входных сигналов 0001, 0011, 0101 и 0111 дает на выходе единицу, а при остальных наборах - 0. Простая форма записи исходных данных: n=4, при наборах 1,3,5,7 F равна единице. Или еще короче: n=4; F(1,3,5,7)=1. Все фазы синтеза КС пояснены на рис. 11.3.