Тема 11. Основные схемы цифровых устройств

11.1. Цифровая электроника и булева алгебра

Цифровая электроника оперирует электрическими эквивалентами цифр. При этом числа чаще всего представляются в двоичной системе, в которой существуют только два знака: единица и нуль, им соответствуют сигналы «логическая единица» и «логический нуль», которые для краткости будем обозначать просто 1 и 0.

В XIX в. ирландским математиком Булем с целью перевода логических доказательств на язык математики были разработаны основы алгебры логики, названной впоследствии булевой алгеброй.

Основное понятие булевой алгебры - переключательная (булева) функция. Ее аргументы (переменные) и она сама могут принимать только два значения: 0 и 1. Оказалось, что с помощью булевых функций можно описать действие целого класса схем цифровой электроники, а также правила функционирования сочетаний этих схем. Такого рода схемы называются комбинационными, так как сигнал на их выходе (1 или 0) определяется комбинацией сигналов (единиц и нулей) на их входах.

Табл. 11.1

Простейшими булевыми функциями являются функции одной переменной. Их может быть только четыре (табл. 11.1). Эти функции описывают работу одновходовых цифровых схем. Функции f₀(A) и f₃(A) описывают схемы, выходы которых постоянно присоединены к уровням логического нуля и логической единицы соответственно; функция f₁(А) - схему, выход которой постоянно соединен с входом, функция f₃(А) - инвертор, или схему отрицания (кратко - схема НЕ).

Булевы функции двух переменных (их всего 16) сведены в табл. 11.2. Все функции имеют свои названия и обозначения, но в таблице приведены названия лишь тех функций, которые необходимы для дальнейшего изложения. Заметим лишь, что если наборы переменных рассматривать как число, записанное в двоичной системе счисления, то индексы функций являются десятичными эквивалентами этих двоичных чисел, например f₁₀ и 1010, f₁₅ и 1111 и т. д.

Таблица 11.2

В булевой алгебре доказана теорема: функция любого количества переменных может быть получена методом суперпозиции из функций двух переменных. Метод суперпозиции заключается в подстановке на место переменных других булевых функций и (или) перенумерации переменных, т. е. в их перестановке. Теорема и пояснение сущности метода суперпозиции позволяют ограничиться рассмотрением булевых функций только двух переменных и строить многовходовые комбинационные схемы только из двухвходовых схем. При этом необходимо, чтобы выводы одних схем можно было подключить ко входам других.

Любая булева функция двух переменных может быть получена из небольшого количества функций двух переменных. Набор функций двух переменных, из которого методом суперпозиции можно получить все остальные булевы функции двух переменных (а значит, и любые функции вообще!), называется функционально полным набором. Примерами таких наборов являются: f₁ и f₁₀; f₁ и f₁₂, f₇ и f₁₀. Функционально полный набор представляет даже одна функция f₈ или одна функция f₁₄.

Рис. 11.1. Таблица истинности (а); обозначения с записью правил функционирования в виде операций булевой алгебры (б) и примеры реализации основных логических элементов; разомкнутый контакт соответствует ), замкнутый – 1; напряжение на лампочке равно 0 , лампочка под напряжением

Таким образом, на базе электронных схем одного типа, работа которых описывается, например, булевой функцией f₈(B,А), можно построить любую цифровую комбинационную схему при условии, что выходы таких схем можно подключать ко входам других таких же схем.

Набор исходных схем или логических элементов, реально используемых в цифровой электронике, описывается избыточно полным функциональным набором булевых функций f₁(B,А), f₇(В,А), f₁₀(B,А), которым соответствуют логические элементы И, ИЛИ, НЕ. Избыточность набора позволяет получить несколько вариантов одинаково функционирующих схем и выбрать из них те, которые лучше подходят для решения конкретных задач.

Примеры электрических схем, реализующих наиболее употребительные в цифровой электронике булевы функции, приведены на рис. 11.1. Эти схемы, к сожалению, не удовлетворяют требованию возможности включения выходов одних на входы других, но они наглядны.