Тема 4. Повторяющиеся игры (2 занятия)

Занятие 1

Вопросы для обсуждения

1. Игры с конечным числом повторений.

2. Бесконечно повторяющиеся игры.

3. Народная теорема и ее следствия.

Практические задания

1. Игра с одновременным выбором ходов (см. таблицу 2) повторяется дважды, причем решение, выбранное на первом шаге, становится известным до начала второго шага. Дисконтирование отсутствует. Переменная x больше 4, так что (4,4) не является равновесием в одношаговой игре. Для каких значений x следующая стратегия для каждого игрока соответствует совершенному по подыграм равновесию Нэша?

Указание: играем на первом шаге. Если исход первого шага – , то играем на втором шаге. Если исход первого шага – , причем , то играем на втором шаге. Если исход первого шага – , причем , то выберите на втором шаге. Если решение на первом шаге – , причем и , то выберите на втором шаге.

Таблица 2.

Матрица выигрышей игроков в задании 1

	P2	Q2	R2	S2
P1	2, 2	x, 0	-1, 0	0, 0
Q1	0, x	4, 4	-1, 0	0, 0
R1	0, 0	0, 0	0, 2	0, 0
S1	0, -1	0, -1	-1, -1	2, 0

2. Игра с одновременным выбором ходов (приводимая ниже в таблице 3) повторяется дважды, причем исход первого шага становится известным до начала второго шага. Дисконтирование отсутствует. Можно ли достичь выигрышей (4, 4) на первом шаге при совершенном по подыграм равновесии Нэша в чистых стратегиях? Если это возможно, то опишите стратегию, реализующую это.

Если нет, то объясните, почему.

Таблица 3

Матрица выигрышей игроков в задании 2.

	L	C	R
T	3, 1	0, 0	5, 0
M	2, 1	1, 2	3, 1
B	1, 2	0, 1	4, 4

Занятие 2

Вопросы для обсуждения

1. Сговор в олигополии Курно.

2. Модель эффективной зарплаты.

3. Денежная политика государства и корпорации.

Практические задания

1. Вспомним статическую модель дуополии Бертрана (с однородным продуктом): фирмы объявляют цены одновременно; спрос для фирмы равен , если , 0, если и , если ; предельные затраты равны . Рассмотрим бесконечно повторяющуюся игру, основанную на этой одношаговой игре. Покажите, что фирмы могут использовать релейные стратегии (переключающая при любом отклонении на равновесие Нэша в одношаговой игре), чтобы поддерживать уровень монопольной цены в совершенном по подыграм равновесии Нэша, тогда и только тогда, когда .

2. Предположим, спрос изменяется случайно в бесконечно повторяющейся игре Бертрана: в каждом периоде спрос равен с вероятностью и с вероятностью ; уровни спроса в разные периоды независимы. Предположим, что в каждом периоде уровень спроса становится известным фирмам до того, как они назначат цены для этого периода. Какие уровни монопольных цен ( и ) соответствуют двум уровням спроса? Найдите наименьшее значение , для которого обе фирмы могут использовать релейные стратегии, чтобы поддерживать уровень монопольной цены (т.е. выбирать , когда спрос равен для ) в совершенном по подыграм равновесии Нэша. Для каждого значения  между 1/2 и найдите такую наибольшую цену , что в совершенном по подыграм равновесии Нэша фирмы могут использовать релейные стратегии, чтобы поддерживать цену , когда спрос высокий, и цену , когда спрос низкий.

Контрольные вопросы

1. Как определяются стратегии игроков в двукратном повторении дилеммы заключенного?

2. Какая связь существует между равновесием Нэша в статической игре и совершенным в подыграх равновесием Нэша в повторяющейся исходной статической игре?

3. Что такое релейная стратегия?

4. Что означает наказание игрока за отклонение от равновесной релейной стратегии?

5. В чем смысл народной теоремы?

6. Какая связь между совместными смешанными стратегиями и кооперативными траекториями в повторяющейся игре?

Задания для самостоятельной работы

1. Изучить кооперативное поведение игроков в повторяющихся играх.

2. Сформулировать понятие равновесия в совместных смешанных стратегиях.

3. Сформулировать арбитражную схему Нэша.

4. Определить смысл стабильности на основе угроз.

5. Выполнить задание 5 из раздела самостоятельной работы.

Рекомендуемая литература

1. Акимов В.П. Основы теории игр: учеб. пособие / - М.: МГИМО – Университет, 2008.- С.99-116.

2. Данилов В.И.Лекции по теории игр: учеб. пособие / - М.: РЭШ, 2002.- С.85-91.

3. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. – М.: МЗ Пресс, 2007.- С.85-105.

4. Печерский С.Л., Беляева А.А. Теория игр для экономистов. Вводный курс: учебное пособие – Спб.: Европейский университет, 2001.- С.105-115.