§ 52. Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением.

Из предыдущей теоремы следует, что если прямая задана общим уравнением

относительно общей декартовой системы координат, то вектор и всякий ненулевой вектор, с ним коллинеарный, является направляющим вектором этой прямой.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием того, что вектор коллинеарен прямой, заданной относительно общей декартовой системы координат уравнением

является условие

(1)

Доказательство. Отложим вектор , от любой точки данной прямой. Конец р отложенного вектора будет иметь координаты .

Вектор коллинеарен данной прямой тогда и только тогда, когда точка р лежит на данной прямой, т.е. тогда и только тогда, когда выполнено равенство

или

( , т.к. точка лежит на данной прямой). Ч.т.д.

Теорема 5. Если прямая задана общим уравнением

относительно декартовой прямоугольной системы координат, то вектор

перпендикулярен этой прямой.

Доказательство. В самом деле, направляющий вектор прямой является вектор , тогда, взяв скалярное произведение, имеем:

,

значит, вектор перпендикулярен направляющему вектору данной прямой, а потому вектор перпендикулярен и самой прямой. Ч.т.д.

Для общей декартовой системы координат это положение, вообще говоря, не имеет места. Вектор , координаты которого служат коэффициентами в общем уравнении прямой относительно общей декартовой системы координат, называется главным вектором этой прямой.

Главный вектор , заданной уравнением относительно общей декартовой системы координат, неколлинеарен этой прямой. В самом деле, по условию коллинеарности вектора и прямой , имеем:

, .

§ 53. Частные случаи расположения прямой относительно системы координат

Прямая коллинеарна оси Ох, тогда и только тогда, когда А = 0, т.к. направляющий вектор прямой коллинеарен оси Ох тогда и только тогда, когда вторая координата этого вектора равна нулю.

Уравнение прямой в случае, если эта прямая коллинеарна оси Ох, имеет, таким образом, вид , или (где ).

Аналогично доказывается, что прямая коллинеарна оси Оу тогда и только тогда, когда В = 0, т.е. тогда, когда общее уравнение прямой имеет вид , или .

Необходимым и достаточным условием того, что прямая проходит через начало координат, является равенство С = 0, т.к. в случае С = 0 и только в этом случае уравнение удовлетворяется координатами начала координат.

Таким образом, общее уравнение прямой, проходящей через начало координат, имеет вид , и обратно (т.е. любое однородное уравнение первой степени определяет прямую, проходящую через начало координат).

§ 54. Параметрические уравнения прямой

Теорема 6. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор , в общей декартовой системе координат имеют вид

.

Доказательство. Пусть произвольная точка плоскости. Тогда будет лежать на данной прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, т.е. тогда и только тогда, когда они отличаются числовым множителем:

, (1)

или в координатах

откуда

Если t принимает все действительные значения, то точка М с этими координатами описывает всю данную прямую. Ч.т.д.

Замечание 1. Из соотношения (1) находим

,

т.е. t есть координата точки М на данной прямой в следующей системе координат: - начало координат, - масштабный вектор.

Замечание 2. Вводя радиусы векторы и точек и М, можно соотношение , переписать так:

,

откуда

Это уравнение называется параметрическим уравнением прямой в векторной форме, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .