§ 47. Двойное векторное произведение

Вектор называется двойным векторным произведением. Векторы и компланарны. Действительно, если и неколлинеарны, то вектор им перпендикулярен, а вектор , перпендикулярный вектору , будет компланарен с векторами и . Отсюда следует, что вектор можно разложить по векторам и .

Приводимая ниже формула и дает разложение этого вектора по векторам и :

Для доказательства этой формулы введем ортонормированный базис, взяв первый единичный вектор базиса коллинеарным вектору и расположив второй единичный вектор этого базиса перпендикулярно и так, чтобы векторы были компланарны. Тогда

Значит

;

Отметим еще формулу

Доказательство:

ч.т.д.

§ 48. Площадь параллелограмма и треугольника в пространстве.

Площадь параллелограмма, построенного на двух неколлинеарных векторах и , отложенных от одной точки и заданных своими координатами относительно ортонормированного базиса, равна и, следовательно вычисляется по формуле

Пусть относительно прямоугольной системы координат в пространстве заданы три вершины параллелограмма:

.

Тогда его площадь вычисляется по формуле

В самом деле, площадь параллелограмма с тремя данными вершинами А, В, С равна

. Остается заметить, что

И что модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Замечание. Площадь S треугольника АВС с вершинами

,

заданными относительно декартовой прямоугольной системы координат, вычисляется по формуле

Домашнее задание. К. 853-864

§ 50. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой.

Теорема 1. В общей декартовой системе координат уравнение прямой р, проходящей через точку с направляющим вектором имеет вид

, (1)

или

. (1’)

Доказательство. Рассмотрим произвольную точку М(х,у) плоскости. Точка М(х,у) лежит на прямой р тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. Условие коллинеарности этих векторов является равенство (§ 36 теорема 5).

,

или*

.

Уравнение (1) или (1’) называется каноническим уравнением прямой.

*(Если один из знаменателей и равен нулю, то уравнение (1’) означает, что равен нулю соответствующий числитель).

§ 51. Общее уравнение прямой

Теорема 2. В общей декартовой системе координат прямая выражается уравнением первой степени:

. (1)

Доказательство. Перепишем каноническое уравнение прямой (§ 50) в виде

.

Полагая ; ; , приведём его к виду .

Это уравнение первой степени, т.к. вектор ненулевой, а потому А и В одновременно в нуль не обращается (А=m, B=-l).

Теорема 3 (обратная). Всякое уравнение первой степени

(2)

в общей декартовой системе координат является уравнением прямой.

Доказательство. Пусть - какое-нибудь решение уравнения

; т.е. (3)

Данное уравнение будет эквивалентно уравнению, которое мы получим, отняв почленно из уравнения (2) равенство (3):

,

или

.

По доказанному в первой теореме это уравнение прямой, а следовательно и уравнение

является уравнением прямой, направляющим вектором которой является вектор и которая проходит через точку .

Уравнение называется общим уравнением прямой.