Односторонний предел по Гейне

1)Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значенийфункции сходится к числу . 2)Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

3) Односторонний предел по Коши Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство . Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство . 22. Определение функции, непрерывной в точке. Функция , называется непрерывной в точке , если выполняется одно из эквивалентных условий: 1) ;     2) для произвольной последовательности (x_n) значений , сходящейся при n → ∞ к точке x₀, соответствующая последовательность (f(x_n)) значений функции сходится при n → ∞ к f(x₀); 3) или f(x) - f(x₀) → 0 при x - x₀ → 0; 4) такое, что или, что то же самое,

f: ]x₀ - δ, x₀ + δ[ → ]f(x₀) - ε, f(x₀) + ε[.Из определения непрерывности функции f в точке x₀ следует, что Если функция f непрерывна в каждой точке интервала ]a, b[, то функция f называется непрерывной на этом интервале.

Еще одно определение: Пусть и . Функция f непрерывна в точке , если для любого существует δ > 0 такое, что 23. Теорема о непрерывности сложной функции. Пусть u = f(x) определена в U(x0) и непрерывна в точке x0, функция (t) определена в U(t0), непрерывна в t0, x0 = (t0). Тогда в некоторой окрестности t0 существует сложная функция f((t)) непрерывная в точке t0 24. Теорема о непрерывности обратной функции.1) Если функция f монотонна на множестве X и принимает значения на множестве Y ( ), то на множестве Y определена обратная функция, принимающая значения в множестве X и обладающая тем же характером монотонности, что и сама функция f. 2) Если X=[a,b] и f монотонна и непрерывна на этом множестве, то множество значений функции f есть [f(a),f(b)] и обратная функция непрерывна на нем.

25. Теорема о непрерывности элементарных функций. 1)Непрерывность функции ax, a>0. Справедливо равенство a) Если a>1, обозначим , a=(n+1)n > nn, n<a/n , следовательно n – б.м..Замечание. Отметим, что точно также можно доказать равенство . Именно, , n=(n+1)n > , n< , следовательно n – б.м.. b) Если a <1, то , b > 1.

2) Функция ax непрерывна в точке x0 . Это следует из равенства 26. Определение точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Если функция f : E → R не является непрерывной в

некоторой точке x0 из множества E, то эта точка x0 называется точкой разрыва

функции f. Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.  1.Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в этой точке Существуют левосторонний предел   и правосторонний предел  ;Эти односторонние пределы конечны. При этом возможно следующие два случая: 1)Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу: Такая точка называется точкой устранимого разрыва.2)Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу: Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов  называется скачком функции.

2.Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.  27. Определение производной функции в точке. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки  и существует конечный предел отношения при Δx → 0. Тогда этот предел называется производной функции в точке

28.Определение дифференцируемой функции в точке x0 . Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если ее приращение Δy в точке x0 может быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx, где A -- некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. limΔx→0α(Δx)=0. 29.Определение дифференциала функции f (x) в точке x0 . Дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 называется главная линейная относительно Δx часть приращения функции Δy в данной точке. 30.Правила дифференцирования. Если функции f и g дифференцируемы в точке x0 то в этой же точке дифференцируемы сумма, произведение и частное этих функций;производная сложной функции 31. Теорема о производной сложной функции. Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x). 32. Теорема о производной обратной функции.