10

Лабораторна робота №2

Графічний метод розв’язування матричних ігор. Частина і а) Основні теоретичні відомості.

Означення 1. Вектор, кожна компонента, якого показує частоту (ймовірність) використання гравцем відповідної чистої стратегії, називається змішаною стратегією даного гравця.

З даного означення безпосередньо випливає, що сума компонент вказаного вектора дорівнює одиниці, а самі компоненти невід’ємні.

Таким чином, якщо перший гравець має чистих стратегій, то його змішаною стратегією буде вектор , координати якого задовольняють співвідношення , . Аналогічно, якщо другий гравець має чистих стратегій, то його змішаною стратегією буде вектор , де

Кожний гравець має нескінченну множину змішаних стратегій.

Кожна чиста стратегія являється частинним випадком змішаної, в якій всі стратегії, крім однієї застосовуються з нульовими частотами (ймовірностями), а дана – з частотою 1.

Середня величина виграшу першого гравця в матричній грі виражається у вигляді математичного сподівання:

.

Функція від змішаних стратегій називається платіжною функцією гри з матрицею .

Означення 2. Гарантованим виграшем першого гравця, який обирає змішану стратегію , називається функція .

Означення 3. Гарантованим програшем другого гравця, який обирає змішану стратегію , називається функція .

Означення 4. Оптимальною змішаною стратегією першого гравця називається така його змішана стратегія , при якій його гарантований виграш досягає максимального значення:

Означення 5. Оптимальною змішаною стратегією другого гравця називається така його змішана стратегія , при якій його гарантований програш досягає мінімального значення:

.

Величина називається ціною гри і позначається буквою .

Сукупність оптимальних стратегій і ціна гри складає розв’язок гри.

Теорема 2 (Основна теорема матричних ігор). Будь-яка матрична гра має розв’язок в змішаних стратегіях.

Графічний метод розв’язування матричних ігор 2×n і m×2.

Нехай - платіжна матриця гри . Задача першого гравця полягає в максимізації .

Враховуючи, що , отримуємо .

Таким чином, являється мінімумом n лінійних функцій однієї змінної . Побудувавши для всіх значень графіки цих функцій і потім максимізувавши їх мінімум , отримаємо ціну гри і оптимальну стратегію першого гравця, які визначає верхня точка побудованої нижньої обвідної, яка є графіком функції і має вигляд ломаної.

Аналогічний аналіз може бути зроблений і для ігор .

Б) Питання для самоперевірки.

1. Що називається змішаною стратегією гравця?

2. Скільки змішаних стратегій в матричній грі має кожний гравець?

3. Що таке платіжна функція матричної гри?

4. Що називається оптимальними змішаними стратегіями?

5. Коли існує розв’язок матричної гри в мішаних стратегіях?

6. Чи має матрична гра з платіжною матрицею розв’язок в чистих стратегіях?

7. Який середній програш буде мати другий гравець в грі з платіжною матрицею , якщо перший гравець буде застосовувати змішану стратегію , а другий – ?

а) ; б) ; в); г) д) ; е)

8. Який середній виграш буде мати перший гравець в грі з платіжною матрицею , якщо перший гравець буде застосовувати змішану стратегію , а другий – ?

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е)

9. Як зміниться виграш першого гравця, якщо він буде застосовувати свою оптимальну стратегію, а другий гравець відхилиться від застосування своєї оптимальної стратегії?

1. зменшиться;

2. збільшиться;

3. залишиться незмінним.

10. Як геометрично розв’язують матричну гру, якщо хоча б в одного гравця є тільки дві чисті стратегії?