Решение:

Непустое подмножество векторного пространства над полем называется подпространством векторного пространства , если является векторным пространством над полем относительно тех же операций, что и . Следовательно, для того, чтобы установить, является ли множество подпространством векторного пространства над полем , необходимо для проверить аксиомы векторного пространства, т.е. условия 1.-5. из определения векторного пространства. Однако, такое решение является громоздким. Поэтому целесообразно использовать следующее утверждение.

Теорема 3 (критерий для подпространства). Непустое подмножество векторного пространства над полем является подпространством векторного пространства тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) , для любых ,

2) , для любого , для любого .

С помощью теоремы проверим, является ли множество ℝ подпространством векторного пространства ℝ .

1) Пусть , . Тогда, согласно замечанию 1 на стр. 36, , поскольку в полученной матрице на главной диагонали стоят некоторые действительные числа, а на побочной – нули.

2) Пусть , ℝ. Тогда, согласно определению умножения матрицы над полем на скаляры из (чтобы матрицу А с элементами из поля умножить на скаляр , необходимо каждый элемент матрицы А умножить на ), получим .

Из 1) и 2), в силу теоремы 3, следует, что является подпространством векторного пространства над полем ℝ.

Согласно определению подпространства, является векторным пространством над полем ℝ. Векторное пространство над полем ℝ является конечномерным. Поэтому векторное пространство над полем ℝ также является конечномерным. Найдем один из базисов векторного пространства над полем ℝ и укажем размерность над ℝ.

Как и в задании 5, рассмотрим произвольный вектор из и представим в виде линейной комбинации векторов из , элементами которых являются 1 и 0:

.

Пусть , . Тогда , т.е. каждый вектор из является линейной комбинацией векторов .

Покажем, что система линейно независима. Пусть . Тогда ,

,

,

откуда получаем , . Тем самым установлено, что система является линейно независимой. Таким образом, - базис векторного пространства над полем ℝ и .

Задание 6. Найти:

а) общее решение неоднородной системы линейных уравнений (1);

б) общее решение однородной системы линейных уравнений, соответствующей системе (1), и ее фундаментальный набор решений;

в) линейное многообразие решений системы (1):

(1) .

Решение:

а) Общее решение системы (1) несложно получить с помощью метода Гаусса (см. задание 1):

ℝ.

Отметим, что множество ℝ всех решений неоднородной системы линейных уравнений (1) образует векторное пространство над полем ℝ.

б) Запишем однородную систему линейных уравнений, соответствующую системе (1), и методом Гаусса найдем ее общее решение:

(2)

∿ ∿

∿ . Отсюда получаем систему , решая которую, находим общее решение системы (2):

ℝ.

Множество ℝ всех решений однородной системы линейных уравнений (2) является векторным пространством над полем ℝ. Базис векторного пространства над полем ℝ называется фундаментальным набором решений системы (2). Его находят следующим образом: придают одной свободной неизвестной значение 1, остальным – значение 0, получают первый базисный вектор ; затем придают второй свободной неизвестной значение 1, остальным – значение 0, получают второй базисный вектор , и т.д. Отсюда следует, что базисных векторов будет столько, сколько свободных неизвестных имеет система. Таким образом,

– фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений (2). Отметим, что, исходя из этого, множество можно записать в виде ℝ .

в) Пусть - подпространство векторного пространства над полем , . Тогда множество называется линейным многообразием векторного пространства над полем с направлением , проходящим через вектор . Рассмотрим

- векторное пространство ℝ над полем ℝ всех решений неоднородной системы линейных уравнений (1);

- векторное пространство ℝ над полем ℝ всех решений однородной системы линейных уравнений (2);

- – некоторый вектор из .

Известно, что является линейным многообразием с направлением , проходящим через вектор . Пусть, например, . Тогда