§11. Скалярний добуток двох векторів

Означення. Скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівнює добутку їх довжин (модулів) на косинус кута між ними.

Скалярний добуток векторів позначається символом . За означенням

, (2.12)

де - кут між векторами (мал.21), причому

Н а основі формули (2.7) формулу (2.12) можна записати так:

(2.13)

або аналогічно

(2.14)

Отже, скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку модуля одного з них на проекцію другого вектора на напрям першого.

Поняття скалярного добутку випливає із задач механіки.

Відомо, що робота A сили F при прямолінійному переміщенні матеріальної точки на шляху l знаходять за формулою

(2.15)

Розглянемо деякі властивості скалярного добутку:

1. - Переставний закон.

Доведення. За означенням скалярного добутку

і але як добуток

чисел, то .

2. - сполучний закон.

Доведення. На основі формули (2.14) маємо, що

Згідно з властивостями проекцій §6 .

Таким чином,

З другого боку, на основі формули (2.14), маємо .

Отже, .

3. - Розподільний закон.

Доведення. На основі формули (2.14) маємо

З

Таким чином,

гідно з властивостями проекцій

На основі формули (2.14) маємо, що і

Значить

4) .

Доведення. За означенням скалярного добутку

, якщо

Якщо ,то добуток , але тут і рівність

також правильна.

Скалярний добуток називають скалярним квадратом вектора , тобто і звідси

106