§3. Декартова прямокутна система координат в просторі

П оложення точки в просторі будемо визначати відносно прямокутної системи координат в просторі. Дана система складається із трьох взаємно перпендикулярних осей та , які перетинаються в одній точці ,яка називається початком координат. Вісь називається віссю абсцис, вісь - віссю ординат і вісь - віссю аплікат.

Нехай точка є довільною точкою простору (мал.9).

Знайдемо проекції точки на координатні осі. Для цього через точку проведемо три площини, які будуть перпендикулярні до координатних осей та .Нехай ці площини перетинають вісі і відповідно в точках і Тоді координата точки на осі називається абсцисою точки , координата точки на числовій вісі називається ординатою точки , а координата z точки C на числовій вісі Oz називається аплікатою точки . Значить, величини направлених відрізків , та , тобто числа x,y,z є координатами точки M.

Таким чином, в даній системі координат кожній точці простору відповідає єдина упорядкована трійка чисел ( . В цьому записі означає перше число, - друге, - третє. І навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел ( відповідає тільки одна точка простору M. Отже, прямокутна система координат в просторі встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок простору і множиною упорядкованих трійок чисел.

Площини Oxy, Oyz, і Oxz називаються координатними

площинами і поділяють весь простір на вісім частин.

Приклад 1. Побудувати точки M₁(1;-2;3), M₂(-1;1;2).

Р озв’язування. На вісі відкладаємо відрізок . Через точку проводимо пряму,

паралельну вісі і на ній відкладаємо відрізок AB= -2. Через точку B проводимо пряму, паралельну вісі Oz і відкладаємо відрізок BM₁=3

Кінець цього відрізка дає шукану точку M₁ (мал.10). Точка M₂(-1;1;2) будується аналогічно.

§ 4. Скалярні і векторні величини

У фізиці, математиці, економіці і інших науках зустрічаються величини двох видів: одні з них характеризуються тільки числом, а інші – числом і напрямом в просторі.

Величини називаються скалярними або скалярами, якщо кожна із них визначається своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць, наприклад, довжина, площа, об’єм, час, температура.

Величини називаються векторними або векторами, якщо кожна із них визначається числовим значенням і напрямом. Наприклад, сила, швидкість, прискорення.

Означення. Напрямлений відрізок прямої називається вектором.

В ектор будемо позначати символом . Перша буква означає початок вектора, а друга – його кінець. Вектор також будемо позначати однією малою буквою з стрілкою на верху, наприклад (мал.11).

Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називається нульовим і позначається або просто .Віддаль між початком і кінцем вектора називається його довжиною , або модулем і позначається або .

Ми будемо вивчати вільні вектори. Такий вектор можна переносити по його лінії дії або паралельно самому собі.

Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних прямих, або на одній і тій же прямій, називаються колінеарними.

Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних площинах або на одній і тій же площині, називаються компланарними.

Відповідно, компланарні вектори, які приведені до одного і того ж початку, будуть знаходитися на одній площині.

Означення. Два вектори рівні, якщо вони однаково напрямлені і модулі їх рівні .

Означення. Два вектори, в яких модулі рівні, а напрямки протилежні, називаються протилежними і ( ).

Одиничний вектор (орт) вектора дорівнює

і позначається так: