
- •§1. Метод координат на прямій та його застосування
- •Висновок. Якщо на прямій в деякій системі координат задано дві точки і ,тоді величина відрізка знаходиться із рівності (2.1), а віддаль (довжина) між цими точками за формулою (2.2).
- •§2. Прямокутна система координат на площині
- •§3. Декартова прямокутна система координат в просторі
- •§ 4. Скалярні і векторні величини
- •§5.Дії над векторами
- •§6. Проекція вектора на вісь
- •§ 70. Проекції вектора на осі координат
- •§8. Напрямні косинуси вектора
- •§9. Розклад вектора по ортам
- •§10. Дії над векторами, заданими в координатній формі
- •§11. Скалярний добуток двох векторів
- •- Переставний закон.
- •- Розподільний закон.
Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ
ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Аналітична геометрія
є розділ математики, яка вивчає властивості
геометричних фігур алгебраїчними
методами. Уже в середній школі до
геометрії застосовують алгебру при
розв’язуванні багатьох питань. Ще в
ст.
французький математик Рене Декарт
розробив метод координат, який є апаратом
аналітичної геометрії. Цей метод дає
можливість визначити положення точки
на прямій, на площині, на поверхні, а
форму ліній і поверхонь задати за
допомогою рівнянь, які пов’язують
координати їх точок.
§1. Метод координат на прямій та його застосування
Р
озглянемо
горизонтальну пряму лінію
на
площині (мал.1). На цій прямій l
візьмемо нерухому точку O,
що називається початком відліку. Ця
точка розбила пряму на два взаємно
протилежні напрямки: додатній – вправо
і від’ємний – вліво. Взявши деяку
одиницю масштабу, вправо від точки
Oвідкладаємо
додатні числа, а вліво – від’ємні числа.
Ці числа відповідають деяким точкам на
прямій l
і навпаки, отже між точками прямої l
та дійсними числами існує взаємно
однозначна відповідність. Таку пряму
l
будемо називати числовою віссю Ox.
Точці O,
що вважається початком відліку ,
відповідає число нуль.
Таким чином, ми побудували систему координат на прямій. Візьмемо деяку точку А на числовій осі. Цій точці відповідає деяке число х, яке називається координатою точки А. Це записується А(х).
Будемо вважати
відрізок
, що відкладений праворуч від точки
за додатній, а відрізок
відкладений ліворуч від точки
О- за
від’ємний (мал.1).
Відрізок, у якого
початок, а
кінець,
позначають
і називають напрямленим відрізком.
Величину відрізка
будемо
позначати символом АВ.
Означення. Відрізки, які характеризуються не тільки своєю довжиною, але й напрямом називаються напрямленими
відрізками.
Величина напрямленого відрізка є його довжина, взята з певним знаком.
В
ізьмемо
на осі
-ів
дві точки
і
відповідно
з координатами
і
,
тоді і відрізкам
і
будуть
відповідати числа
і
(мал.2).
Покажемо, що при
будь-якому розташуванні точок
і
відносно
точки
величина відрізка
буде дорівнювати
тобто
(2.1)
Дійсно, нехай точки
і
розташовані так як на мал.2. Тоді
Коли точки і розташовані так, як на мал.3,
т
о
але
і
Одержимо
Нехай і розташовані по різні сторони відносно точки (мал.4).
Значить
.
Якщо
а
,
то величина відрізка буде
Довжина відрізка
позначається
через
і дорівнює
(2.2)
Висновок. Якщо на прямій в деякій системі координат задано дві точки і ,тоді величина відрізка знаходиться із рівності (2.1), а віддаль (довжина) між цими точками за формулою (2.2).
Приклад 1. Задано
точки
.
Знайти величину
відрізків
,
.
Розв’язування.
За формулою
(2.1) одержуємо:
.
Приклад 2. Знайти
віддаль між точками
Розв’язування.
За формулою (2.2) одержимо
§2. Прямокутна система координат на площині
та її застосування
Положення точки на прямій, як ми бачили, визначається одним числом – її координатою, а положення точки на площині, як ми побачимо, визначається упорядкованою парою чисел (тобто вказано яке із чисел є першим, а яке другим).
В
ізьмемо
на площині дві взаємно перпендикулярні
осі і назвемо їх осями координат (мал.5).
Точка перетину
осей координат O
називається початком координат. Осі
координат (
-
вісь абсцис, горизонтальна,
вісь
ординат, вертикальна ). Осі координат
і
ділять площину на чотири частини, які
називаються квадрантами ( або координатними
кутами). Частина площини, що міститься
між додатними осями
і
називається першим квадрантом. Нумерація
квадрантів іде проти годинникової
стрілки.
Нехай точка
-
довільна точка площини. Опустимо з цієї
точки перпендикуляри на вісь
і
,
основи цих перпендикулярів позначимо
відповідно через
і
,
тобто
і
є проекціями точки
на координатні осі. Позначимо координату
точки
на осі
через
а
координату точки
на осі
через
Числа
назвемо координатами точки
на
площині (
абсциса,
-
ордината) . Це позначимо
.
Таким чином, система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок
площини і множиною всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
Найпростіші задачі на застосування методу координат.
а) Віддаль між двома точками на площині.
Нехай задані дві
точки з своїми координатами:
,
.
Треба знайти
віддаль між цими точками. Зробимо малюнок
(мал.6).
Точки
і
спроектуємо
на координатні осі. Їх проекції на
вісь
позначимо
відповідно через
і
,
а на вісь
- відповідно через
і
.
Тоді
Через точку
проведемо
пряму, паралельну осі абсцис до перетину
з прямою
в точці
.
З одержаного прямокутного трикутника
за теоремою Піфагора знаходимо
На основі формули (2.2) дану рівність перепишемо так:
,
або
(2.3)
Знак перед коренем у формулі (2.3) береться (+) тому, що віддаль – величина додатна.
Зауваження. Різниця координат у формулі (2.3) підноситься до квадрату і тому немає значення, яку точку вважати першою, а яку другою.
Приклад . Знайти
віддаль між точками
i
.
Розв’язування. За формулою (2.3) знаходимо
б) Поділ відрізка в заданому відношенні.
Нехай на площині задано дві довільні точки A(x1,y1) і B(x2,y2) Вважаємо A(x1,y1) першою точкою, а B(x2,y2) другою точкою. Проведемо через ці точки пряму(мал.7).
Нехай точка
лежить на відрізку
і
ділить його на два відрізки
і
,
причому відношення їх дорівнює
,
тобто
(число
відоме).
Випадок, коли точка
співпадає
з точкою
виключаємо,
бо знаменник перетворюється в нуль.
Наша задача полягає в тому, щоб знайти
координати точки
через координати точок
,
та число
.
Спроектуємо точки
та
на координатну вісь
(мал.7)
і позначимо їх проекції через
,
та
.
Використовуючи теорему про пропорційні
відрізки, що містяться між паралельними
прямими, одержимо
Відомо, що
тоді
Розв’язуючи цю рівність відносно
знаходимо
Аналогічно,
спроектувавши точки
та
на координатну вісь
(мал.7) і
зробивши необхідні викладки, як вище,
знаходимо ординату точки
:
Отже, координати точки , яка ділить відрізок
у відношенні (рахуючи від до ), обчислюються за формулами
(2.4)
Якщо точка
є
серединою відрізка
,
то
і тоді
(2.5)
Зауваження.
При одержанні формул (2.4) ми допускали,
що відрізок
не паралельний ні одній з осей координат.
Однак одержані формули (2.4) справедливі
і тоді , коли відрізок
паралельний вісі
(
),
або осі
(
.
Крім цього, все викладене вище справедливе й тоді, коли точка знаходиться зовні , тобто на його продовженні.
Приклад 1. Дано
дві точки A(7;-2)і
B(-3;-5).
На продовженні прямої
знайти точку C(x,y),
віддаль від якої до точки A
в п’ять
раз більша за віддаль до точки B.
Знайти довжину
Р
озв’язування.
Зробимо
малюнок.
За умовою задачі
(мал.8)
Тепер за формулою (2.4) знаходимо
Значить, точка
.
Довжину
знаходимо
за формулою (2.3)
.
Приклад 2. Знаючи
координати вершин трикутника
,
і
,
знайти точку
перетину медіан трикутника.
Розв’язування.
Координати
точки
(середина
сторони
)
буде
,
,тобто
.
Шукана точка
ділить кожну медіану у відношенні
,
рахуючи від вершини. Тепер підставляючи
у формули (2.4)
та
координати точок
і
,
знайдемо координати шуканої точки
.
Отже,