3. Обработка опытных данных

Если аналитическое решение задачи затруднительно, то после графического представления опытных данных можно подобрать уравнение, с достаточной для технических расчетов точностью описывающее исследуемую инженерную задачу.

В результате обработки опытных данных могут быть получены эмпирические или полуэмпирические уравнения.

Полуэмпирические уравнения получают предварительно теоретическим путем, а опытные данные используют для нахождения или уточнения некоторых коэффициентов, входящих в эти уравнения.

Эмпирические уравнения описываются только на обработке опытных данных, как правило в критериальном виде. Существуют два способа установления критериев подобия и их набора в уравнении, с той или иной степенью точности описывающем изучаемый процесс. Один из них методом анализа размерностей, другой - теорией подобия.

В основу метода размерностей положена π-теорема Бэкингема, согласно которой «общую функциональную зависимость, связывающую между собой n переменных величин при m основных единиц измерения, можно представить в виде зависимости между (n-m) безразмерными комплексами, составленными из этих величин».

Сущность метода подобия заключается в установлении безразмерных критериев подобия исходя из дифференциальных уравнений явления путем преобразования этих уравнений к безразмерному виду.

В отличие от метода анализа размерностей, к которому прибегают в тех случаях, когда дифференциальные уравнения явления не известны, метод подобия требует знания этих уравнений. Это обусловливает сравнительно большую надежность метода подобия; при использовании последнего не могут быть пропущены какие-либо параметры, влияющие на протекание изучаемого явления, тогда как в методе анализа размерностей установление полной совокупности параметров осуществляется интуитивным путем и поэтому не гарантирует того, что все без исключения параметры, влияющие на ход процесса, будут учтены.

Эмпирическое критериальное уравнение должно обеспечивать высокую точность и быть достаточно простым для практического использования. Вследствие противоречивости этих двух требований часто приходится жертвовать либо простотой уравнения, либо его точностью. Практика показала, что для описания сложных процессов пищевых производств достаточно точным будет уравнение, удовлетворяющее погрешности ±15%.

3.1. Графоаналитические методы обработки опытных данных

Это наиболее простые, наглядные и достаточно точные методы. В их основе лежат графические зависимости, представленные в виде прямых или кривых линий, проведенных по опытным точкам. При этом следует отчетливо представлять, что математическая обработка результатов наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Речь лишь идет о том, чтобы охватить результаты опыта наиболее простой формулой, которая давала бы возможность производить интерполирование.

Выбор типа эмпирической формулы производят, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдений(эксперимента), с типичными графиками формул.

В таблице 2 графически представлены некоторые типы функций, наиболее часто встречающиеся при расчетах тепломассообменной аппаратуры пищевых производств. Для каждого семейства кривых дано исходное уравнение, метод его линеаризации и уравнение, полученное после линеаризации.

Таблица 2–Типы функций

Форма кривой	Уравнение	Метод линеаризации	Уравнение, полученное при линеаризации
	у=а·хb (степенная функция)	Х=lgх Y=lgy	Y=lgа+b·X
	у=а·ebx (показательная функция). График дан для a=const	Y=lgy	Y=lgа+b·X·lge

Из таблицы видно, что иногда эмпирическая кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны, например, кривая 1 и 2, поэтому, прежде чем определить численные значения коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить возможность ее использования методом выравнивания(линеаризации).

Метод выравнивания заключается в преобразовании функции y=f(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию. Достигается это путем замены переменных х,y новыми переменными X=ψ(х,у), Y=ξ(х,у) которые выбираются так, чтобы получилось уравнение прямой линии:

Y=A+B·X

Вычислив значения X_i,Y_iпо заданным x_i,у_i, наносят их на прямоугольную систему координат XY.Если построенные таким образом точки располагаются вблизи прямой, то выбранная эмпирическая формула Y=φ(X) подходит для характеристики зависимости y=f(x).

Особенно часто используются различные логарифмические сетки, с помощью которых можно «выпрямлять» графики степенных и показательных функций. В самом деле, если зависимость между х и у задается уравнением

y=a·ebx,

(1)

то логарифмирование его дает

lgy=(b·lge)·x+lga.

(2)

Полагая lgy=Y, lga=A, b·lge=B, запишем уравнение (2) как

Y=A+B·x.

(3)

Из него видно, что оставив равномерную шкалу по оси ОХ и построив на оси ОУ логарифмическую шкалу, функция (1) изобразится прямой линией.

Описанная выше сетка называется полулогарифмической. Логарифмической называется функциональная сетка, у которой на каждой из осей ОX и ОY построена логарифмическая шкала. На такой сетке графики степенных функций (кривые параболического и гиперболического вида) изобразятся прямыми линиями.

Действительно, если

Y=a·xb,

(4)

то

lgy=lga+blgx.

(5)

Полагая теперь lgy=Y, lga=A, lgx=X,запишем уравнение (5) в виде Y=A+B·X, откуда и вытекает наше утверждение.

Из сказанного вполне ясна роль функциональных сеток при обработке экспериментальных данных. Если результаты опытов, нанесенные в виде точек на обычных равномерных сетках, достаточно хорошо располагаются вдоль прямой линии, то коэффициенты эмпирической формулы легко находятся, например, способом средних, либо графическим методом. Если же результаты располагаются вблизи кривой, то переведя полученные экспериментальные данные на ту или иную функциональную сетку, мы получаем возможность судить, на какой из них эти данные ближе всего подходят к прямой, а значит и о том, какую из формул следует выбрать для адекватного описания экспериментальных данных.