Простая случайная выборка

Теорема П.Л. Чебышева доказывает принципиальную возможность определения генеральной средней по данным простой случайной выборки Согласно теореме А.Я.Ляпунова при достаточно большом числе независимых наблюдений в генеральной совокупности вероятность того, что расхождение выборочной и генеральной средней не превзойдет величину , равна интегралу Лапласа (Ф(t)). Величину называют предельной ошибкой выборки и обозначают ∆.

Приведем наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие значения t для выборок достаточно большого объема (n> 30):

t	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00
Ф(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997

1. Средняя ошибка выборки для среднего значения находится двумя способами, в зависимости от того, способом производился отбор в выборочную совокупность:

- при повторном отборе средняя ошибка выборки для среднего значения равна:

;

- при бесповторном отборе:

.

Предельная ошибка выборки для среднего значения находится по формуле: ,

где t – коэффициент доверия,

- средняя ошибка выборки для среднего значения.

2. Средняя ошибка выборки для доли признака находится двумя способами, в зависимости от того, способом производился отбор в выборочную совокупность:

- при повторном отборе средняя ошибка выборки для доли признака равна:

,

где w – выборочная доля.

- при бесповторном отборе средняя ошибка выборки для доли признака равна:

.

Предельная ошибка выборки для доли признака находится по формуле: ,

где - средняя ошибка выборка для доли признака.

Доверительный интервал для генеральной средней можно записать так:

Аналогичным образом могут быть записаны доверительные пределы генеральной доли:

.

Малая выборка

При уменьшении объема выборки снижается точность оцениваемых параметров генеральной совокупности.

Для оценки возможных пределов ошибки малой выборки пользуются отношением Стьюдента:

,

где S - среднее квадратическое отклонение в выборке;

n – 1 – число степеней свободы (k).

Если t_расч. по модулю t_набл.., то можно сделать вывод, что с определенной вероятностью оценки параметров генеральной совокупности значимы.

В таблице приведены величины отношения Стьюдента t:

Таблица

Величины отношения Стьюдента t (краткая выдержка)

	0,95	0,99	0,997
4	2,776	4,604	6,435
9	2,262	3,250	4,024
14	2,145	2,977	3,583
20	2,086	2,845	3,376
24	2,064	2,797	3,250

Средняя квадратическая ошибка выборки для среднего значения при повторном отборе составляет:

;

Средняя ошибка выборки для среднего значения при бесповторном отборе равна: .

Средняя ошибка выборки доли признака при повторном отборе находится по формуле: .

Средняя ошибка выборки доли признака при бесповторном отборе рассчитывается как: