Показатели вариации

Показатели вариации делятся на две группы:

- абсолютные (размах вариации, среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение);

- относительные (коэффициент колеблемости, коэффициент вариации).

1. Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации:

h = x _max – x _min.

Для более точной оценки колеблемости определяют среднее абсолютное и среднее квадратической отклонение. Смысл этих показателей в общем одинаков: они показывают на сколько в среднем отклоняются отдельные значения признака от их средней величины.

Среднее линейное отклонение имеет две разновидности:

- среднее линейное отклонение простое: ;

- среднее линейное отклонение взвешенное: .

Этому показателю присущ следующий недостаток – он недостаточно четко реагирует на отклонение вариационного признака. Поэтому в статистической практике наиболее часто для оценки колеблемости используют среднее квадратическое отклонение.

Среднее квадратическое отклонение имеет две разновидности:

- среднее квадратическое простое применяется для несгруппированных данных и имеет вид :

;

- среднее квадратическое взвешенное применяется, если данные сгруппированы и рассчитывается по формуле:

.

К относительным показателям вариации относятся:

- коэффициент колеблемости, который рассчитывается следующим образом:

,

где - среднее абсолютное отклонение; - среднее значение для х.

- коэффициент вариации находится по формуле:

Для характеристики вариационных рядов могут использоваться квартили, квантили и децили.

Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q_1; 25% единиц будут заключены между Q₁ и Q₂; 25% - между Q₂ и Q₃; и остальные 25% превосходят Q₃. Квартили определяются по формулам, аналогичным приведенной выше формуле для расчета медианы:

,

где - нижняя граница интервала, в котором находится первая квартиль;

S_(-1) – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;

.

Условные обозначения те же, что и для величины Q₁.

При расчете квантиль совокупность разбивается на 5 частей, децилей – на 10 частей.

Нормальный закон распределения

Укажем особенности кривой нормального распределения.

1. Кривая симметрична относительно максимальной ординаты. Максимальная ордината соответствует значению

, ее величина равна:

2. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. Следовательно, чем больше значение отклоняется от , тем реже они встречаются. Одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значения переменной от равновероятны.

3. Кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии от .

4. В промежутке находится 68, 31 всех значений признака. В промежутке находится 95,4% всех значений признака. В промежутке находится 99,7% всех значений признака.

Нормальное распределение возможно в том случае, когда на величину признака влияет большое число случайных причин. Действие этих причин независимо, и ни одна из причин не имеет преобладающего влияния над другими.