4. Оценка результатов при малом числе измерений и неизвестном

По опытным данным, представленным в виде выборки независимых значений , , ,..., объема случайной величины , одним из возможных способов нахо­дится точечная оценка математического ожидания .

Предположим, что величина является гауссовой, т. е. подчиняется закону нор­мального распределения Гаусса. В этом случае в качестве эффективной опенки це­лесообразно выбрать выражение

. (15)

Если известна , которая называется доверительной, так как характеризует досто­верность и надежность неравенства

, (16)

Где , то интервал называется доверительным интервалом нахождения оценки. Величина доверительного интервала, равная в этом случае , яв­ляется мерой точности определения .

При оценивании любой вероятностной характеристики стремятся установить вероятностное неравенство

, (17)

позволяющее охарактеризовать меру точности и вероятности определения . Оценка в, представленная в виде неравенства (17), называется доверительной. Если перейти к центрированной и нормированной случайной величине

, (18)

то неравенство (17) примет вид:

где

Здесь – аргумент функции Лапласа, – доверительные границы доверительного интервала.

Неравенство (20) позволяет решать следующие задачи:

1. по заданным и устанавливать меру точности оценивания ;

2. по заданным и устанавливать вероятность оценивания ;

3. по заданным и устанавливать требуемый объем выборочных данных.

Однако значение , используемое в неравенстве (19), как правило, бывает неиз­вестным. В этом случае значение заменяют оценкой , полученной тем или иным способом. Границы доверительного интервала (20) переменной , а следовательно, и значение определяются с погрешностью, которая будет тем меньше, чем больше объем выборки .

Погрешность доверительной оценки математического ожидания будет отсутство­вать, если дисперсия определена по формуле:

, (21)

и используется новая случайная переменная

, (22)

где – аргумент Лапласа, определяется выражением из выражения (21); .

Закон распределения плотности вероятности случайной переменной известен – это закон распределения Стьюдента , зависящий от числа степеней свободы , причем .

В приложении представлена табл. П. 3 значений интеграла – распределения Стьюдента для различных и :

. (23)

На основании выражений (22) и (23) вероятностное выражение (17) для прини­мает вид

, (24)

где . (25)

Пример 4. По выборке объёма в соответствии с выражениями (15) и (21) были наёдены точечные оценки .

Требуется с доверительной вероятностью определить доверительный интервал, в котором находится искомое значение

Решение. 1) Для значения и по табл. П. 3 находим значение .

2) В соответствии с формулой (25) для определяем

3) В соответствии с неравенством, аналогичным (16), полученным из соотношения (19), имеем Таким образом, с доверительной вероятностью искомое значение .

4) Приближенную оценку найдем из условия по (20) определим аргумент функции Лапласа по заданному значению по табл. П. 3 приложения Тогда .

Таким образом с доверительной вероятностью приближенное значение , т.е.

Пример 5. Используя данные примера 4 , найти доверительную вероятность оценивания с абсолютной погрешностью не более 1,0.

Решение. 1) По условию задачи абсолютная погрешность

.

Следовательно, .

2) По формуле (25) находим

.

3) Для значения по табл. П. 3 приложения находим методом линейной интерполяции для доверительную вероятность:

;

Таким образом, при данном объеме выборки стремление уменьшить абсо­лютную погрешность оценивания до значения 1,0 привело к снижению достоверно­сти нахождения в заданном интервале до значения вероятности 0,82. По сравнению с вероятностью 0,95 (см. пример 4) снижение надежности является существенным.

Единственным способом повышения точности оценивания при сохранении надеж­ности является увеличение объема выборки.

Пример 6. Используя данные примеров 4 и 5, установить объем выборки п, обеспе­чивающий доверительную вероятность .

Решение. Решение целесообразно вести методом последовательного приближения:

1) Задаемся ; .

По табл. П. 3 приложения для находим . По формуле (25) для рассчитываем . Так как , то необходимо увеличивать .

2) Задаваемая ; . По табл. П. 3 для , находим . По формуле (25) рассчитываем . Так как не­ сколько выше , то еще увеличиваем .

3) Задаваемая ; . По табл. П. 3 для , находим . По формуле (25) рассчитываем . Так как то решение закончено. Требуемый объем выборки, обеспечивающий с вероятностью , равен .

Ниже идут условия типовых задач по интервальной оценке математического ожида­ния. Варианты задач представлены в табл. 6 и 7.

Задача 1. Путем сличения с показаниями образцового измерительного прибора най­дено п значений погрешности испытываемого прибора. Рассчитаем эффективные то­чечные оценки , (табл.6).

Требуется с доверительной вероятностью установить доверительный интервал абсолютной случайной погрешности испытываемого прибора.

Провести те же расчеты по приближенным формулам, полагая с . Сравнить результаты измерений.

Задача 2. Для значений , , представленных в табл. 6 задачи 1, требуется рассчитать доверительную вероятность оценки случайной погрешности испытывае­мого измерительного прибора с абсолютной погрешностью наблюдений не более .

Таблица 6

№	Параметры				Результат
					точный	приближённый
1	6	0,010	0,015	0,90	-0,002…0,022	0,000…0,020
2	8	0,012	0,030	0,95	-0,013…0,037	-0,009…0,033
3	7	0,014	0,020	0,98	-0,010…0,038	-0,004…0,032
4	9	0,009	0,021	0,99	-0,014…0,032	-0,009…0,027
5	11	0,013	0,030	0,98	-0,012…0,038	-0,008…0,034
6	13	0,017	0,010	0,95	0,011…0,023	0,012…0,022
7	15	0,011	0,020	0,90	0,002…0,020	0,003…0,019
8	17	0,015	0,014	0,99	0,005…0,025	0,006…0,024
9	19	0,016	0,018	0,999	0,000…0,032	0,003…0,029

Задача 3. Для значений , и представленных в табл. 6, и значений из табл. 7 требуется рассчитать необходимый объем выборки .

Ответ: .

Таблица 7

№		Результат,
		точный	приближённый
1	0,012	0,900	0,950
2	0,025	0,950	0,982
3	0,024	0,988	0,998
4	0,024	0,990	0,999
5	0,025	0,973	0,994
6	0,006	0,950	0,969
7	0,009	0,930	0,918
8	0,010	0,990	0,997
9	0,016	0,999	0,999